Cho góc nhọn

Được rồi, mình sẽ giúp bạn giải các bài toán này.

### Câu c)
Cho \(\tan \alpha = \frac{1}{3}\), tính \(C = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}\).

Đầu tiên, ta biết rằng:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{3}
\]
Từ đó, ta có:
\[
\sin \alpha = \frac{1}{3} \cos \alpha
\]

Để tìm \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\), ta sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Thay \(\sin \alpha = \frac{1}{3} \cos \alpha\) vào đẳng thức trên:
\[
\left(\frac{1}{3} \cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{1}{9} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{1}{9} \cos^2 \alpha + \frac{9}{9} \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{10}{9} \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha = \frac{9}{10}
\]
\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}
\]

Từ đó:
\[
\sin \alpha = \frac{1}{3} \cos \alpha = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]

Bây giờ, ta tính \(C\):
\[
C = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{\frac{1 - 3}{\sqrt{10}}}{\frac{1 + 3}{\sqrt{10}}} = \frac{\frac{-2}{\sqrt{10}}}{\frac{4}{\sqrt{10}}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy \(C = -\frac{1}{2}\).

### Câu d)
Cho \(\cot \alpha = \frac{4}{3}\), tính \(D = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}\).

Đầu tiên, ta biết rằng:
\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{4}{3}
\]
Từ đó, ta có:
\[
\cos \alpha = \frac{4}{3} \sin \alpha
\]

Để tìm \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\), ta sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Thay \(\cos \alpha = \frac{4}{3} \sin \alpha\) vào đẳng thức trên:
\[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{3} \sin \alpha\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha + \frac{16}{9} \sin^2 \alpha = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha \left(1 + \frac{16}{9}\right) = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha \cdot \frac{25}{9} = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}
\]
\[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}
\]

Từ đó:
\[
\cos \alpha = \frac{4}{3} \sin \alpha = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}
\]

Bây giờ, ta tính \(D\):
\[
D = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{-1}{5}} = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{-1} = -7
\]

Vậy \(D = -7\).