Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( x^2 + 3xy + x + 3y = -4 \), chúng ta sẽ thử biến đổi phương trình và kiểm tra từng giá trị nguyên của \( x \) và \( y \).

Bắt đầu từ phương trình gốc:
\[ x^2 + 3xy + x + 3y = -4 \]

Chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại để dễ dàng hơn trong việc tìm nghiệm:
\[ x^2 + 3xy + x + 3y + 4 = 0 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

### Thử nghiệm với các giá trị nguyên

#### Thử \( x = -1 \):
\[ (-1)^2 + 3(-1)y + (-1) + 3y + 4 = 0 \]
\[ 1 - 3y - 1 + 3y + 4 = 0 \]
\[ 4 = 0 \]
Không thỏa mãn.

#### Thử \( x = -2 \):
\[ (-2)^2 + 3(-2)y + (-2) + 3y + 4 = 0 \]
\[ 4 - 6y - 2 + 3y + 4 = 0 \]
\[ 6 - 3y = 0 \]
\[ 3y = 6 \]
\[ y = 2 \]
Vậy \( (x, y) = (-2, 2) \) là một nghiệm.

#### Thử \( x = 0 \):
\[ 0^2 + 3(0)y + 0 + 3y + 4 = 0 \]
\[ 3y + 4 = 0 \]
\[ 3y = -4 \]
\[ y = -\frac{4}{3} \]
Không thỏa mãn vì \( y \) không phải là số nguyên.

#### Thử \( x = 1 \):
\[ 1^2 + 3(1)y + 1 + 3y + 4 = 0 \]
\[ 1 + 3y + 1 + 3y + 4 = 0 \]
\[ 2 + 6y + 4 = 0 \]
\[ 6y + 6 = 0 \]
\[ 6y = -6 \]
\[ y = -1 \]
Vậy \( (x, y) = (1, -1) \) là một nghiệm.

#### Thử \( x = 2 \):
\[ 2^2 + 3(2)y + 2 + 3y + 4 = 0 \]
\[ 4 + 6y + 2 + 3y + 4 = 0 \]
\[ 10 + 9y = 0 \]
\[ 9y = -10 \]
\[ y = -\frac{10}{9} \]
Không thỏa mãn vì \( y \) không phải là số nguyên.

### Kết luận
Các nghiệm nguyên của phương trình \( x^2 + 3xy + x + 3y = -4 \) là:
\[ (x, y) = (-2, 2) \]
\[ (x, y) = (1, -1) \]