Để tìm một số \( x \) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. \( x \equiv 3 \pmod{4} \)
2. \( x \equiv 5 \pmod{9} \)

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp đồng dư hoặc hệ phương trình đồng dư để giải quyết vấn đề này.

Bước 1: Biểu diễn \( x \) dưới dạng phương trình đồng dư:
\[ x = 4k + 3 \]
với \( k \) là một số nguyên.

Bước 2: Thay \( x \) vào điều kiện thứ hai:
\[ 4k + 3 \equiv 5 \pmod{9} \]

Bước 3: Giải phương trình đồng dư:
\[ 4k + 3 \equiv 5 \pmod{9} \]
\[ 4k \equiv 2 \pmod{9} \]
\[ k \equiv 2 \cdot 4^{-1} \pmod{9} \]

Bây giờ, chúng ta cần tìm nghịch đảo của 4 modulo 9, tức là tìm số \( y \) sao cho:
\[ 4y \equiv 1 \pmod{9} \]

Thử các giá trị của \( y \):
\[ 4 \cdot 1 = 4 \not\equiv 1 \pmod{9} \]
\[ 4 \cdot 2 = 8 \not\equiv 1 \pmod{9} \]
\[ 4 \cdot 3 = 12 \equiv 3 \pmod{9} \]
\[ 4 \cdot 4 = 16 \equiv 7 \pmod{9} \]
\[ 4 \cdot 5 = 20 \equiv 2 \pmod{9} \]
\[ 4 \cdot 6 = 24 \equiv 6 \pmod{9} \]
\[ 4 \cdot 7 = 28 \equiv 1 \pmod{9} \]

Vậy, nghịch đảo của 4 modulo 9 là 7. Do đó:
\[ k \equiv 2 \cdot 7 \pmod{9} \]
\[ k \equiv 14 \pmod{9} \]
\[ k \equiv 5 \pmod{9} \]

Bước 4: Thay \( k \) vào biểu thức của \( x \):
\[ x = 4k + 3 \]
\[ x = 4(9m + 5) + 3 \]
\[ x = 36m + 20 + 3 \]
\[ x = 36m + 23 \]

Vậy, số \( x \) thỏa mãn các điều kiện đã cho có dạng:
\[ x = 36m + 23 \]
với \( m \) là một số nguyên.