Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tam giác cân và các định lý hình học cơ bản.

**a) Chứng minh góc BAD = góc BDA**

Xét tam giác ABD, ta có:
- BD = BA (theo giả thiết).

Do đó, tam giác ABD là tam giác cân tại B. Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Vậy:
\[ \angle BAD = \angle BDA. \]

**b) Vẽ DK vuông góc với AC. So sánh DC và DH**

Vẽ DK vuông góc với AC tại K. Ta cần so sánh độ dài của DC và DH.

Xét tam giác vuông ADK tại K, ta có:
\[ DK \perp AC. \]

Xét tam giác vuông AHC tại H, ta có:
\[ AH \perp BC. \]

Do đó, AH là đường cao của tam giác vuông ABC tại A.

Bây giờ, xét tam giác vuông ADK và tam giác vuông AHC:
- DK và AH đều là các đoạn thẳng vuông góc với AC.
- AD là cạnh chung của hai tam giác ADK và AHC.

Vì tam giác ABD là tam giác cân tại B (BD = BA), nên D nằm trên đường tròn đường kính BC. Do đó, tam giác BDC là tam giác vuông tại D (vì góc BDC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Trong tam giác vuông BDC, ta có:
\[ DC \leq DH \]
vì DH là đường cao từ D đến BC, và trong tam giác vuông, đường cao luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh huyền.

**c) Chứng minh AB + AC < BC + AH**

Xét tam giác vuông ABC tại A, ta có:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
(theo định lý Pythagoras).

Ta cần chứng minh:
\[ AB + AC < BC + AH. \]

Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC, ta có:
\[ AB + AC > BC. \]

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác vuông ABC và tính chất của đường cao AH.

Xét tam giác vuông AHC tại H, ta có:
\[ AH^2 + HC^2 = AC^2 \]
và
\[ AH^2 + HB^2 = AB^2. \]

Tổng hai phương trình trên:
\[ AH^2 + HC^2 + AH^2 + HB^2 = AC^2 + AB^2 \]
\[ 2AH^2 + HC^2 + HB^2 = AC^2 + AB^2. \]

Do đó:
\[ 2AH^2 + (HC + HB)^2 = AC^2 + AB^2 \]
\[ 2AH^2 + BC^2 = AC^2 + AB^2. \]

Suy ra:
\[ 2AH^2 = AC^2 + AB^2 - BC^2. \]

Vì \( AC^2 + AB^2 = BC^2 \), nên:
\[ 2AH^2 = 0 \]
\[ AH = 0. \]

Điều này mâu thuẫn với giả thiết AH là đường cao, do đó:
\[ AB + AC < BC + AH. \]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức:
\[ AB + AC < BC + AH. \]