Cho hình bình hành ABCD (ab > ad ) kẻ AH, CK vuông góc BD. a) AH = BK. b) C/m tứ giác AHCK là hình bình hành. c) AK cắt BC tại M, CH cắt AD tại N, tứ giác AMCN là hình gì, tại sao? d) Cmr MN, HK, AC đồng quy

Cho hình bình hành \(ABCD\) với \(AB > AD\). Kẻ \(AH\) và \(CK\) vuông góc với \(BD\).

a) Chứng minh \(AH = BK\):

Do \(AH\) và \(CK\) đều vuông góc với \(BD\), nên \(AH\) và \(CK\) là các đoạn thẳng song song và cùng vuông góc với \(BD\). Trong hình bình hành, các đường cao từ các đỉnh đối diện đến cùng một đường chéo là bằng nhau. Do đó, \(AH = BK\).

b) Chứng minh tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành:

- \(AH\) và \(CK\) là các đoạn thẳng song song và bằng nhau (đã chứng minh ở phần a).
- \(AK\) và \(CH\) là các đoạn thẳng song song vì chúng đều vuông góc với \(BD\).

Vậy tứ giác \(AHCK\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \(AHCK\) là hình bình hành.

c) \(AK\) cắt \(BC\) tại \(M\), \(CH\) cắt \(AD\) tại \(N\). Tứ giác \(AMCN\) là hình gì, tại sao?

- \(AK\) và \(CH\) là các đường chéo của hình bình hành \(AHCK\), nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- \(M\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\), \(N\) là giao điểm của \(CH\) và \(AD\).

Trong hình bình hành \(ABCD\), các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(BC\) và \(AD\) tương ứng.

Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của các cạnh đối diện của hình bình hành \(ABCD\), tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.

d) Chứng minh \(MN\), \(HK\), \(AC\) đồng quy:

- \(MN\) là đường nối trung điểm của \(BC\) và \(AD\).
- \(HK\) là đường nối trung điểm của \(AH\) và \(CK\) (vì \(AH = BK\) và \(AHCK\) là hình bình hành).
- \(AC\) là đường chéo của hình bình hành \(ABCD\).

Trong hình bình hành, các đường nối trung điểm của các cạnh đối diện và các đường chéo đều đồng quy tại một điểm (trung điểm của các đường chéo).

Do đó, \(MN\), \(HK\), và \(AC\) đồng quy tại trung điểm của \(AC\).