Để chứng minh tứ giác \( DEMN \) là hình thang vuông, ta cần chứng minh rằng \( DE \parallel MN \) và một trong các góc của tứ giác là góc vuông.

1. **Chứng minh \( DE \parallel MN \):**

- Xét tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), có đường cao \( AH \). Do đó, \( AH \perp BC \).
- Kẻ \( HD \perp AC \) tại \( D \) và \( HE \perp AB \) tại \( E \). Vì \( HD \perp AC \) và \( HE \perp AB \), ta có \( \angle HDA = \angle HEA = 90^\circ \).
- Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( HB \) và \( HC \). Do đó, \( M \) và \( N \) là trung điểm của các đoạn thẳng trong tam giác vuông \( HBC \).

- Xét tam giác \( HBC \):
- \( M \) là trung điểm của \( HB \) và \( N \) là trung điểm của \( HC \).
- Đường trung bình của tam giác \( HBC \) nối trung điểm của hai cạnh \( HB \) và \( HC \) là \( MN \), và \( MN \parallel BC \).

- Xét tam giác \( ABC \):
- \( DE \) là đường cao từ \( H \) đến \( AC \) và \( AB \), do đó \( DE \perp AC \) và \( DE \perp AB \).
- Vì \( DE \perp AC \) và \( MN \parallel BC \), mà \( BC \perp AC \) trong tam giác vuông \( ABC \), nên \( DE \parallel MN \).

2. **Chứng minh một góc của tứ giác \( DEMN \) là góc vuông:**

- Ta đã biết \( DE \perp AC \) và \( HE \perp AB \), do đó \( \angle HDA = \angle HEA = 90^\circ \).
- Vì \( DE \parallel MN \) và \( DE \perp AC \), nên \( MN \perp AC \).

- Do đó, trong tứ giác \( DEMN \), \( DE \parallel MN \) và \( DE \perp AC \), nên \( \angle DEM \) hoặc \( \angle DEN \) là góc vuông.

Kết luận: Tứ giác \( DEMN \) là hình thang vuông vì \( DE \parallel MN \) và có một góc vuông.