Để chứng minh rằng nếu \( x, y \) là các số dương và \( \frac{m}{x} > \frac{n}{y} \) thì \( \frac{m}{x} > \frac{m+n}{x+y} > \frac{n}{y} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Giả thiết:**
\[
\frac{m}{x} > \frac{n}{y}
\]

2. **Chứng minh \( \frac{m}{x} > \frac{m+n}{x+y} \):**

Ta có:
\[
\frac{m}{x} > \frac{m+n}{x+y}
\]

Điều này tương đương với:
\[
m(x+y) > x(m+n)
\]

Triển khai vế trái và vế phải:
\[
mx + my > mx + nx
\]

Rút gọn \( mx \) ở cả hai vế:
\[
my > nx
\]

Chia cả hai vế cho \( xy \) (vì \( x \) và \( y \) đều dương):
\[
\frac{m}{x} > \frac{n}{y}
\]

Điều này đúng theo giả thiết ban đầu. Vậy ta đã chứng minh được:
\[
\frac{m}{x} > \frac{m+n}{x+y}
\]

3. **Chứng minh \( \frac{m+n}{x+y} > \frac{n}{y} \):**

Ta có:
\[
\frac{m+n}{x+y} > \frac{n}{y}
\]

Điều này tương đương với:
\[
y(m+n) > n(x+y)
\]

Triển khai vế trái và vế phải:
\[
ym + yn > nx + ny
\]

Rút gọn \( ny \) ở cả hai vế:
\[
ym > nx
\]

Chia cả hai vế cho \( xy \):
\[
\frac{m}{x} > \frac{n}{y}
\]

Điều này đúng theo giả thiết ban đầu. Vậy ta đã chứng minh được:
\[
\frac{m+n}{x+y} > \frac{n}{y}
\]

Từ hai phần chứng minh trên, ta kết luận:
\[
\frac{m}{x} > \frac{m+n}{x+y} > \frac{n}{y}
\]

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.