Để tìm hai số thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta có thể gọi hai số đó là \( x \) và \( y \).

Theo đề bài, ta có hai phương trình:

1. Tổng của hai số bằng 17:
\[ x + y = 17 \]

2. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị và số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105:
\[ (x + 3)(y + 2) = 105 \]

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình thứ nhất, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[ y = 17 - x \]

Thay \( y = 17 - x \) vào phương trình thứ hai:
\[ (x + 3)((17 - x) + 2) = 105 \]
\[ (x + 3)(19 - x) = 105 \]

Khai triển phương trình trên:
\[ x \cdot 19 - x^2 + 3 \cdot 19 - 3x = 105 \]
\[ 19x - x^2 + 57 - 3x = 105 \]
\[ -x^2 + 16x + 57 = 105 \]

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo thành phương trình bậc hai:
\[ -x^2 + 16x + 57 - 105 = 0 \]
\[ -x^2 + 16x - 48 = 0 \]

Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa:
\[ x^2 - 16x + 48 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong đó, \( a = 1 \), \( b = -16 \), và \( c = 48 \):
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{2} \]
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} \]
\[ x = \frac{16 \pm 8}{2} \]

Do đó, ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{16 + 8}{2} = 12 \]
\[ x = \frac{16 - 8}{2} = 4 \]

Với \( x = 12 \), ta có:
\[ y = 17 - 12 = 5 \]

Với \( x = 4 \), ta có:
\[ y = 17 - 4 = 13 \]

Vậy hai số cần tìm là \( 12 \) và \( 5 \), hoặc \( 4 \) và \( 13 \).