Để giải phương trình \( \frac{x+1}{x-1} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x^2 - x} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tìm mẫu số chung**:
- Mẫu số của các phân số là \( x(x-1) \).

2. **Quy đồng mẫu số**:
- Ta viết lại phương trình với mẫu số chung \( x(x-1) \):
\[
\frac{(x+1)x - 1(x-1)}{x(x-1)} = \frac{2}{x(x-1)}
\]

3. **Đơn giản hóa tử số**:
- Tử số của phân số bên trái là:
\[
(x+1)x - 1(x-1) = x^2 + x - x + 1 = x^2 + 1
\]
- Do đó, phương trình trở thành:
\[
\frac{x^2 + 1}{x(x-1)} = \frac{2}{x(x-1)}
\]

4. **So sánh tử số**:
- Vì hai phân số có cùng mẫu số, ta chỉ cần so sánh tử số:
\[
x^2 + 1 = 2
\]

5. **Giải phương trình bậc hai**:
- Giải phương trình \( x^2 + 1 = 2 \):
\[
x^2 = 1
\]
- Do đó, \( x = \pm 1 \).

6. **Kiểm tra điều kiện xác định**:
- Phương trình ban đầu có mẫu số \( x(x-1) \), nên \( x \neq 0 \) và \( x \neq 1 \).
- Do đó, nghiệm \( x = 1 \) bị loại vì nó làm mẫu số bằng 0.

7. **Kết luận**:
- Nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện là \( x = -1 \).

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -1 \).