Để chứng minh tam giác \( \triangle ACM \) cân tại \( M \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định độ dài đường trung bình của hình thang:**

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên và song song với hai đáy. Độ dài của đường trung bình bằng trung bình cộng của hai đáy.

Gọi \( AD = a \) và \( BC = b \). Độ dài đường trung bình \( EF \) của hình thang \( ABCD \) là:
\[
EF = \frac{AD + BC}{2} = \frac{a + b}{2}
\]

2. **Xác định điểm \( M \) trên \( AD \):**

Theo đề bài, \( M \) là điểm trên \( AD \) sao cho \( AM \) bằng độ dài đường trung bình của hình thang, tức là:
\[
AM = \frac{a + b}{2}
\]

3. **Chứng minh tam giác \( \triangle ACM \) cân tại \( M \):**

Để chứng minh tam giác \( \triangle ACM \) cân tại \( M \), ta cần chứng minh rằng \( AM = CM \).

- Gọi \( I \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \), và \( I \) là trực tâm của tam giác \( \triangle ACD \) và \( \triangle BCD \) vì \( AC \perp BD \).
- Do \( AD \parallel BC \) và \( AD > BC \), ta có thể suy ra rằng \( I \) nằm trên đường trung trực của \( AD \) và \( BC \).

- Xét tam giác \( \triangle ACD \):
+ \( M \) là điểm trên \( AD \) sao cho \( AM = \frac{a + b}{2} \).
+ Do \( AD \parallel BC \) và \( AD > BC \), điểm \( M \) chia \( AD \) thành hai đoạn \( AM \) và \( MD \) sao cho:
\[
AM = \frac{a + b}{2} \quad \text{và} \quad MD = a - \frac{a + b}{2} = \frac{a - b}{2}
\]

- Xét tam giác \( \triangle ACM \):
+ \( M \) là điểm trên \( AD \) sao cho \( AM = \frac{a + b}{2} \).
+ Để chứng minh \( \triangle ACM \) cân tại \( M \), ta cần chứng minh rằng \( AM = CM \).

- Do \( I \) là trực tâm của tam giác \( \triangle ACD \) và \( \triangle BCD \), ta có:
+ \( AI \perp BD \) và \( CI \perp BD \).
+ \( M \) là trung điểm của \( AD \), do đó \( M \) cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối từ \( A \) đến \( D \).

- Vì \( M \) là trung điểm của \( AD \) và \( AD \parallel BC \), ta có:
\[
AM = MD = \frac{a - b}{2}
\]

- Do đó, trong tam giác \( \triangle ACM \), ta có:
\[
AM = CM
\]

Vậy, tam giác \( \triangle ACM \) cân tại \( M \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác \( \triangle ACM \) cân tại \( M \).