Để tìm giá trị của \( x \) và \( y \) thỏa mãn hệ phương trình:
\[ x - y = 7 \]
\[ x^2 + y^2 = 169 \]

Chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. Từ phương trình \( x - y = 7 \), ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \):
\[ x = y + 7 \]

2. Thay \( x = y + 7 \) vào phương trình thứ hai:
\[ (y + 7)^2 + y^2 = 169 \]

3. Mở rộng và đơn giản hóa phương trình:
\[ (y + 7)^2 + y^2 = 169 \]
\[ y^2 + 14y + 49 + y^2 = 169 \]
\[ 2y^2 + 14y + 49 = 169 \]

4. Chuyển tất cả các số hạng về một phía của phương trình:
\[ 2y^2 + 14y + 49 - 169 = 0 \]
\[ 2y^2 + 14y - 120 = 0 \]

5. Chia cả hai vế của phương trình cho 2 để đơn giản hóa:
\[ y^2 + 7y - 60 = 0 \]

6. Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \( a = 1 \), \( b = 7 \), và \( c = -60 \):
\[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2 \cdot 1} \]
\[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2} \]
\[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} \]
\[ y = \frac{-7 \pm 17}{2} \]

7. Tìm hai nghiệm của \( y \):
\[ y_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
\[ y_2 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]

8. Tìm giá trị tương ứng của \( x \) cho mỗi giá trị của \( y \):
- Khi \( y = 5 \):
\[ x = y + 7 = 5 + 7 = 12 \]

- Khi \( y = -12 \):
\[ x = y + 7 = -12 + 7 = -5 \]

Vậy, hai cặp nghiệm của hệ phương trình là:
\[ (x, y) = (12, 5) \]
và
\[ (x, y) = (-5, -12) \]