Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

**A. Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM**

Ta có tam giác ABC với AB = AC và M là trung điểm của BC.

1. Xét tam giác ABM và tam giác ACM:
- AB = AC (giả thiết)
- BM = CM (M là trung điểm của BC)
- AM là cạnh chung

2. Theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:
\[
\triangle ABM = \triangle ACM
\]

Vậy, tam giác ABM bằng tam giác ACM.

**B. Qua M kẻ MH vuông góc với AB tại H và MK vuông góc với AC tại K. Chứng minh tam giác MHK cân.**

1. Xét tam giác ABM và tam giác ACM đã chứng minh bằng nhau ở phần A:
- Do AB = AC và M là trung điểm của BC, nên tam giác ABC cân tại A.

2. Kẻ MH vuông góc với AB tại H và MK vuông góc với AC tại K:
- Do MH vuông góc với AB và MK vuông góc với AC, nên MH và MK là các đường cao của tam giác ABM và ACM tương ứng.

3. Xét tam giác MHK:
- Ta có MH = MK (vì tam giác ABM và tam giác ACM bằng nhau và MH, MK là các đường cao tương ứng).

4. Do đó, tam giác MHK có hai cạnh MH và MK bằng nhau.

Vậy, tam giác MHK là tam giác cân tại M.