Để giải bài 31, chúng ta xem xét từng câu hỏi một.

a) Chứng minh rằng tứ giác \( BMEF \) là hình chữ nhật:
- Vì \( E \) là trung điểm của \( AC \) và \( F \) là trung điểm của \( BC \).
- Các đoạn \( BE \) và \( BF \) là các đường chéo của tứ giác, và bởi vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( B \), nên \( \angle ABE \) và \( \angle BFC \) đều là góc vuông.
- Do đó, tứ giác \( BMEF \) là hình chữ nhật.

b) Gọi \( K \) đối xứng với \( B \) qua \( E \). Tứ giác \( BAKC \) là hình gì? Vì sao?
- Tứ giác \( BAKC \) có \( BA \) song song với \( KC \) và \( BK \) song song với \( AC \).
- Do đó, tứ giác này là hình bình hành.

c) Gọi \( G \) đối xứng với \( E \) qua \( F \). Tứ giác \( BGCE \) là hình gì? Vì sao?
- Tứ giác \( BGCE \) có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, nên tứ giác này cũng là hình bình hành.

d) Tam giác \( ABC \) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \( BGCE \) là hình vuông?
- Để \( BGCE \) là hình vuông, cần thêm điều kiện là các cạnh \( BG \) và \( GC \) phải bằng nhau và góc \( \angle BGC \) phải là 90 độ.

Hy vọng rằng những phân tích này sẽ giúp ích cho bạn trong việc giải bài tập!