Để tính tổng số chữ số cần ghi để đánh số trang cho một quyển sách dày 108 trang, ta có thể chia thành các đoạn như sau:

1. **Các trang từ 1 đến 9**:
- Có 9 trang, mỗi trang cần 1 chữ số.
- Tổng số chữ số: \(9 \times 1 = 9\).

2. **Các trang từ 10 đến 99**:
- Có 90 trang (từ 10 đến 99), mỗi trang cần 2 chữ số.
- Tổng số chữ số: \(90 \times 2 = 180\).

3. **Các trang từ 100 đến 108**:
- Có 9 trang (từ 100 đến 108), mỗi trang cần 3 chữ số.
- Tổng số chữ số: \(9 \times 3 = 27\).

Cuối cùng, ta cộng tổng số chữ số của các đoạn lại:
\[ 9 + 180 + 27 = 216 \]

Vậy, để đánh số trang cho quyển sách dày 108 trang, cần ghi tổng cộng 216 chữ số.