Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần:

**a) Chứng minh BH = CK:**

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), nên \(AB = AC\). Do \(BD = CE\) và \(D\), \(E\) nằm trên tia đối của \(BA\) và \(CA\) tương ứng, ta có:
\[ AB + BD = AC + CE \]
\[ AD = AE \]

Xét hai tam giác vuông \( \Delta BHD \) và \( \Delta CKE \):
- \(BD = CE\) (giả thiết)
- \(DH = EK\) (vì \(DH\) và \(EK\) đều vuông góc với \(BC\))

Do đó, hai tam giác vuông này bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông:
\[ \Delta BHD \cong \Delta CKE \]
Suy ra:
\[ BH = CK \]

**b) Chứng minh \(\angle AHB = \angle AKC\):**

Xét hai tam giác vuông \( \Delta AHB \) và \( \Delta AKC \):
- \(AB = AC\) (tam giác cân tại \(A\))
- \(AH\) và \(AK\) là các đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), nên chúng bằng nhau.

Do đó, hai tam giác vuông này bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông:
\[ \Delta AHB \cong \Delta AKC \]
Suy ra:
\[ \angle AHB = \angle AKC \]

**c) Chứng minh \(HK \parallel DE\):**

Xét hai tam giác vuông \( \Delta BHD \) và \( \Delta CKE \):
- \(BD = CE\)
- \(DH = EK\)
- \(BH = CK\)

Do đó, hai tam giác vuông này bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông:
\[ \Delta BHD \cong \Delta CKE \]

Vì \(DH\) và \(EK\) đều vuông góc với \(BC\), nên \(HK\) là đoạn thẳng nối các điểm tương ứng của hai tam giác đồng dạng này. Do đó, \(HK \parallel DE\).

**d) Chứng minh \(\Delta AHE = \Delta AKD\):**

Xét hai tam giác \( \Delta AHE \) và \( \Delta AKD \):
- \(AH = AK\) (vì \(AH\) và \(AK\) là các đường cao từ \(A\) xuống \(BC\))
- \(AE = AD\) (đã chứng minh ở phần a)
- \(\angle AHE = \angle AKD = 90^\circ\) (vì \(DH\) và \(EK\) vuông góc với \(BC\))

Do đó, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông:
\[ \Delta AHE \cong \Delta AKD \]

**e) Chứng minh \(AI \perp DE\) (với \(I\) là giao điểm của \(DK\) và \(EH\)):**

Xét hai tam giác vuông \( \Delta BHD \) và \( \Delta CKE \):
- \(BD = CE\)
- \(DH = EK\)
- \(BH = CK\)

Do đó, hai tam giác vuông này bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông:
\[ \Delta BHD \cong \Delta CKE \]

Vì \(HK \parallel DE\), nên \(I\) là trung điểm của \(HK\) và \(DE\). Do đó, \(AI\) là đường trung trực của \(DE\), tức là \(AI \perp DE\).

Như vậy, ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu trong bài toán.