Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{1}{2} \) với điều kiện \( a > b > c > 0 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức.

Trước hết, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tiếp cận bài toán này. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng tổng quát là:

\[ \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right) \]

Áp dụng bất đẳng thức này cho các phân số trong bài toán, ta có:

\[ \left( \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \right) \left( (b+c) + (a+c) + (a+b) \right) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2 \]

Chúng ta biết rằng \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), do đó:

\[ \left( \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \right) \left( 2(a+b+c) \right) \geq 1 \]

Từ đây, ta có:

\[ \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{1}{2(a+b+c)} \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( a + b + c \leq \sqrt{3} \). Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa:

\[ (a+b+c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) \]

Do \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta có:

\[ (a+b+c)^2 \leq 3 \]

Do đó:

\[ a+b+c \leq \sqrt{3} \]

Kết hợp với bất đẳng thức trước đó, ta có:

\[ \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{1}{2\sqrt{3}} \]

Tuy nhiên, để đạt được kết quả mong muốn là \( \frac{1}{2} \), ta cần một cách tiếp cận khác hoặc một bất đẳng thức mạnh hơn. Một cách tiếp cận khác là sử dụng bất đẳng thức Nesbitt:

\[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} \]

Tuy nhiên, điều này không trực tiếp giúp chúng ta chứng minh bất đẳng thức ban đầu. Một cách tiếp cận khác là sử dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc các kỹ thuật khác để tìm ra một bất đẳng thức mạnh hơn.

Tóm lại, chứng minh bất đẳng thức này đòi hỏi một cách tiếp cận tinh tế và có thể cần sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau để đạt được kết quả mong muốn.