Giả sử tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt \( a_1, a_2, \ldots, a_{16} \) thỏa mãn điều kiện:
1. Tổng của 12 số bất kỳ trong các số đó là số dương.
2. Tổng của 8 số bất kỳ trong các số đó là số âm.

Xét tổng của tất cả 16 số:
\[ S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{16} \]

### Điều kiện 1: Tổng của 12 số bất kỳ là số dương
Chọn 12 số bất kỳ từ 16 số, giả sử là \( a_1, a_2, \ldots, a_{12} \). Khi đó:
\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_{12} > 0 \]

### Điều kiện 2: Tổng của 8 số bất kỳ là số âm
Chọn 8 số bất kỳ từ 16 số, giả sử là \( a_1, a_2, \ldots, a_8 \). Khi đó:
\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_8 < 0 \]

### Tổng của tất cả 16 số
Xét tổng của tất cả 16 số:
\[ S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{16} \]

Chọn 8 số bất kỳ từ 16 số, giả sử là \( a_1, a_2, \ldots, a_8 \). Khi đó tổng của 8 số còn lại là:
\[ a_9 + a_{10} + \cdots + a_{16} \]

Theo điều kiện 2, ta có:
\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_8 < 0 \]

Do đó, tổng của 8 số còn lại là:
\[ a_9 + a_{10} + \cdots + a_{16} = S - (a_1 + a_2 + \cdots + a_8) \]

Vì \( a_1 + a_2 + \cdots + a_8 < 0 \), nên:
\[ a_9 + a_{10} + \cdots + a_{16} = S - (a_1 + a_2 + \cdots + a_8) > S \]

Điều này có nghĩa là tổng của 8 số còn lại phải lớn hơn tổng của tất cả 16 số, điều này là vô lý.

### Kết luận
Không tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn điều kiện tổng của 12 số bất kỳ trong các số đó là số dương và tổng của 8 số bất kỳ trong các số đó là số âm.