Để chứng minh đẳng thức \((\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) = \frac{8}{abc}\) với điều kiện \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) và \(abc \neq 0\), \(a + b + c \neq 0\), ta làm như sau:

Trước hết, ta biến đổi biểu thức cần chứng minh:

\[
(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})(\frac{1}{c} + \frac{1}{a})
\]

Ta viết lại các phân số:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}, \quad \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{b + c}{bc}, \quad \frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{c + a}{ca}
\]

Do đó, biểu thức trở thành:

\[
(\frac{a + b}{ab})(\frac{b + c}{bc})(\frac{c + a}{ca})
\]

Ta nhóm các mẫu số lại:

\[
\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{a^2 b^2 c^2}
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{a^2 b^2 c^2} = \frac{8}{abc}
\]

Tức là:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
\]

Ta sẽ sử dụng điều kiện \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\). Ta biết rằng:

\[
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
\]

Do đó, từ điều kiện \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\), ta có:

\[
(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0
\]

Vì \(a + b + c \neq 0\), nên:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
\]

Ta có thể viết lại điều này như sau:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
\]

Bây giờ, ta quay lại biểu thức \((a + b)(b + c)(c + a)\):

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Thay \(ab + bc + ca = a^2 + b^2 + c^2\) vào:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Ta biết rằng \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), nên:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc
\]

Do đó:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) - abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc
\]

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2