Để tính độ dài đoạn thẳng \( AN \), ta có thể sử dụng các thông tin đã cho và áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác vuông.

Cho tam giác \( ABC \) với \( BC = 11 \) cm, \( \angle ABC = 38^\circ \), \( \angle BAC = 30^\circ \). Gọi \( N \) là chân của đường vuông góc kẻ từ \( A \) đến cạnh \( BC \).

Trước hết, ta cần xác định góc \( \angle ACB \). Ta biết tổng các góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \):

\[
\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 38^\circ - 30^\circ = 112^\circ
\]

Tiếp theo, ta xét tam giác vuông \( ANB \) với \( \angle NAB = 90^\circ \). Ta có thể sử dụng định lý lượng giác để tính độ dài đoạn thẳng \( AN \).

Trong tam giác vuông \( ANB \), ta có:

\[
\sin(\angle BAC) = \frac{AN}{AB}
\]

Để tìm \( AB \), ta sử dụng định lý sin trong tam giác \( ABC \):

\[
\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}
\]

Thay các giá trị vào:

\[
\frac{11}{\sin(30^\circ)} = \frac{AB}{\sin(112^\circ)}
\]

Ta biết \( \sin(30^\circ) = 0.5 \) và \( \sin(112^\circ) = \sin(180^\circ - 112^\circ) = \sin(68^\circ) \). Sử dụng bảng giá trị lượng giác hoặc máy tính, ta có \( \sin(68^\circ) \approx 0.927 \).

Do đó:

\[
\frac{11}{0.5} = \frac{AB}{0.927}
\]

\[
22 = \frac{AB}{0.927}
\]

\[
AB = 22 \times 0.927 \approx 20.394
\]

Bây giờ, ta quay lại tam giác vuông \( ANB \) và sử dụng công thức:

\[
\sin(30^\circ) = \frac{AN}{AB}
\]

\[
0.5 = \frac{AN}{20.394}
\]

\[
AN = 0.5 \times 20.394 \approx 10.197
\]

Vậy độ dài đoạn thẳng \( AN \) là khoảng \( 10.197 \) cm.