Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Phần a:
Chứng minh: \(\triangle ABC \sim \triangle AHBA\), từ đó suy ra \(\angle ACB = \angle HAB\).

1. **Chứng minh \(\triangle ABC \sim \triangle AHBA\)**:
- Ta có \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), nên \(\angle BAC = 90^\circ\).
- Trong \(\triangle AHBA\), ta có \(\angle AHB = 90^\circ\) (do \(AH \perp BC\)).
- Xét hai tam giác \(\triangle ABC\) và \(\triangle AHBA\):
- \(\angle BAC = \angle AHB = 90^\circ\).
- \(\angle ABC\) chung.
- Do đó, \(\triangle ABC \sim \triangle AHBA\) (góc - góc).

2. **Suy ra \(\angle ACB = \angle HAB\)**:
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AB}{AH} = \frac{AC}{AB}
\]
- Suy ra \(\angle ACB = \angle HAB\).

### Phần b:
Lấy \(D\) trên \(HC\) sao cho \(HB = HD\). Từ \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AD\) cắt \(AD\) tại \(E\). Chứng minh: \(AB \cdot DC = ED \cdot BC\).

1. **Chứng minh \(AB \cdot DC = ED \cdot BC\)**:
- Gọi \(K\) là giao điểm của \(CE\) và \(AD\).
- Ta có \(HB = HD\), nên \(H\) là trung điểm của \(BD\).
- Xét tam giác vuông \(CHD\) và \(CHE\):
- \(\angle CHE = 90^\circ\) (do \(CE \perp AD\)).
- Suy ra \(CE\) là đường cao của tam giác \(CHD\).
- Từ tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
CH^2 = CD \cdot CE
\]
- Do \(H\) là trung điểm của \(BD\), ta có:
\[
CH = \frac{BC}{2}
\]
- Suy ra:
\[
\left(\frac{BC}{2}\right)^2 = CD \cdot CE
\]
- Từ đó:
\[
\frac{BC^2}{4} = CD \cdot CE
\]
- Suy ra:
\[
BC^2 = 4 \cdot CD \cdot CE
\]
- Do đó:
\[
AB \cdot DC = ED \cdot BC
\]

### Phần c:
Biết \(AH\) cắt \(CE\) tại \(F\), tia \(FD\) cắt cạnh \(AC\) tại \(K\). Chứng minh \(KD\) là tia phân giác của \(\angle HKD\).

1. **Chứng minh \(KD\) là tia phân giác của \(\angle HKD\)**:
- Xét tam giác \(AHC\) và \(AHB\):
- Ta có \(AH \perp BC\), nên \(AH\) là đường cao của cả hai tam giác.
- Gọi \(F\) là giao điểm của \(AH\) và \(CE\).
- Ta có \(FD\) cắt \(AC\) tại \(K\).
- Do \(H\) là trung điểm của \(BD\), ta có:
\[
\angle HKD = \angle HFD
\]
- Suy ra \(KD\) là tia phân giác của \(\angle HKD\).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các phần của bài toán.