Để tìm số nguyên dương \( n \) sao cho \( (4n+2)(5n+5) \) là một số chính phương, ta bắt đầu bằng cách đặt \( (4n+2)(5n+5) = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên dương.

Ta có:
\[
(4n+2)(5n+5) = 20n^2 + 20n + 10
\]
Do đó, phương trình trở thành:
\[
20n^2 + 20n + 10 = k^2
\]

Để giải phương trình này, ta thử một số giá trị nhỏ của \( n \) để xem liệu có giá trị nào thỏa mãn không.

1. Thử \( n = 1 \):
\[
(4 \cdot 1 + 2)(5 \cdot 1 + 5) = 6 \cdot 10 = 60
\]
60 không phải là một số chính phương.

2. Thử \( n = 2 \):
\[
(4 \cdot 2 + 2)(5 \cdot 2 + 5) = 10 \cdot 15 = 150
\]
150 không phải là một số chính phương.

3. Thử \( n = 3 \):
\[
(4 \cdot 3 + 2)(5 \cdot 3 + 5) = 14 \cdot 20 = 280
\]
280 không phải là một số chính phương.

4. Thử \( n = 4 \):
\[
(4 \cdot 4 + 2)(5 \cdot 4 + 5) = 18 \cdot 25 = 450
\]
450 không phải là một số chính phương.

5. Thử \( n = 5 \):
\[
(4 \cdot 5 + 2)(5 \cdot 5 + 5) = 22 \cdot 30 = 660
\]
660 không phải là một số chính phương.

6. Thử \( n = 6 \):
\[
(4 \cdot 6 + 2)(5 \cdot 6 + 5) = 26 \cdot 35 = 910
\]
910 không phải là một số chính phương.

7. Thử \( n = 7 \):
\[
(4 \cdot 7 + 2)(5 \cdot 7 + 5) = 30 \cdot 40 = 1200
\]
1200 không phải là một số chính phương.

8. Thử \( n = 8 \):
\[
(4 \cdot 8 + 2)(5 \cdot 8 + 5) = 34 \cdot 45 = 1530
\]
1530 không phải là một số chính phương.

9. Thử \( n = 9 \):
\[
(4 \cdot 9 + 2)(5 \cdot 9 + 5) = 38 \cdot 50 = 1900
\]
1900 không phải là một số chính phương.

10. Thử \( n = 10 \):
\[
(4 \cdot 10 + 2)(5 \cdot 10 + 5) = 42 \cdot 55 = 2310
\]
2310 không phải là một số chính phương.

Qua các thử nghiệm trên, ta thấy rằng không có giá trị nhỏ của \( n \) nào thỏa mãn điều kiện \( (4n+2)(5n+5) \) là một số chính phương. Để tìm giá trị \( n \) thỏa mãn, có thể cần phải sử dụng các phương pháp phức tạp hơn hoặc kiểm tra thêm các giá trị lớn hơn của \( n \). Tuy nhiên, từ các thử nghiệm trên, ta không tìm thấy giá trị \( n \) nào thỏa mãn điều kiện đã cho.