Để chứng minh rằng hai đường thẳng \( Ax \) và \( BC \) song song với nhau, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác đều và các góc liên quan.

1. **Tam giác đều ABC**:
- Vì tam giác \( ABC \) là tam giác đều, nên các góc trong tam giác đều bằng nhau và mỗi góc bằng \( 60^\circ \).
- Do đó, \( \angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ \).

2. **Tia Ax**:
- Tia \( Ax \) được vẽ sao cho \( \angle CAx = 60^\circ \) và \( Ax \) khác \( AB \).
- Điều này có nghĩa là tia \( Ax \) nằm trên phía bên ngoài của tam giác \( ABC \) và tạo với cạnh \( CA \) một góc \( 60^\circ \).

3. **Góc giữa tia Ax và cạnh BC**:
- Xét góc \( \angle BCA \) trong tam giác đều \( ABC \), ta có \( \angle BCA = 60^\circ \).
- Vì \( \angle CAx = 60^\circ \) và \( Ax \) khác \( AB \), nên tia \( Ax \) phải nằm trên phần kéo dài của cạnh \( CA \) ra ngoài tam giác \( ABC \).

4. **Góc đồng vị**:
- Khi tia \( Ax \) kéo dài từ \( A \) và tạo với \( CA \) một góc \( 60^\circ \), ta có thể thấy rằng góc \( \angle CAx \) và góc \( \angle BCA \) là hai góc đồng vị.
- Hai góc đồng vị bằng nhau khi hai đường thẳng cắt nhau bởi một đường thẳng thứ ba và các góc tương ứng bằng nhau.

5. **Kết luận**:
- Vì \( \angle CAx = \angle BCA = 60^\circ \), theo tính chất của các góc đồng vị, ta có thể kết luận rằng hai đường thẳng \( Ax \) và \( BC \) là song song với nhau.

Như vậy, từ các tính chất của tam giác đều và các góc đồng vị, ta đã chứng minh được rằng hai đường thẳng \( Ax \) và \( BC \) song song với nhau.