Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần một.

**a) Chứng minh tam giác BEM = tam giác CFM**

- Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
- AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC, do đó BM = CM.
- ME vuông góc với AB tại E và MF vuông góc với AC tại F.

Xét tam giác BEM và tam giác CFM:
- \( \angle BME = \angle CMF = 90^\circ \) (do ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC).
- BM = CM (do M là trung điểm của BC).
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó, tam giác BEM và tam giác CFM có:
- \( \angle BME = \angle CMF \)
- BM = CM
- AB = AC

Suy ra, tam giác BEM = tam giác CFM (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

**b) Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF**

- Tam giác BEM = tam giác CFM (đã chứng minh ở phần a).
- Do đó, BE = CF và ME = MF.

Xét tam giác AEM và tam giác AFM:
- \( \angle AEM = \angle AFM = 90^\circ \) (do ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC).
- AM là cạnh chung.
- ME = MF (do tam giác BEM = tam giác CFM).

Suy ra, tam giác AEM = tam giác AFM (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Do đó, AE = AF và \( \angle AEM = \angle AFM = 90^\circ \).

Suy ra, AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

**c) Chứng minh EF // BC**

- Ta đã chứng minh tam giác BEM = tam giác CFM.
- Do đó, \( \angle BEM = \angle CFM \).

Xét hai góc này:
- \( \angle BEM \) và \( \angle CFM \) là hai góc so le trong của hai đường thẳng EF và BC khi cắt bởi đường thẳng AM.

Do đó, EF // BC.

**d) Chứng minh 3 điểm A, M, D thẳng hàng**

- Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D.

Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
- \( \angle ABD = \angle ACD = 90^\circ \) (do các đường thẳng vuông góc với AB và AC).
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó, tam giác ABD = tam giác ACD (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Suy ra, AD là đường trung trực của BC.

Vì M là trung điểm của BC, nên M nằm trên đường trung trực AD.

Do đó, ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Vậy chúng ta đã chứng minh xong tất cả các phần của bài toán.