Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân, trung tuyến, và các đường vuông góc. Dưới đây là các bước chi tiết để chứng minh từng phần:

### a) Chứng minh tam giác BEM = tam giác CFM

1. **Góc vuông:** Ta có \( ME \perp AB \) và \( MF \perp AC \), do đó \( \angle MEB = \angle MFB = 90^\circ \).

2. **Cạnh chung:** \( ME \) và \( MF \) đều là các đoạn thẳng từ M đến các cạnh của tam giác, do đó \( ME = MF \).

3. **Tam giác cân:** Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).

4. **Trung tuyến:** \( AM \) là trung tuyến, do đó \( BM = CM \).

Từ các điều trên, ta có:
- \( \angle MEB = \angle MFB = 90^\circ \)
- \( ME = MF \)
- \( BM = CM \)

Do đó, tam giác \( BEM \) và tam giác \( CFM \) có hai cạnh và góc xen giữa bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

### b) Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF

1. **Góc vuông:** Ta có \( ME \perp AB \) và \( MF \perp AC \), do đó \( \angle MEB = \angle MFB = 90^\circ \).

2. **Tam giác cân:** Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).

3. **Trung tuyến:** \( AM \) là trung tuyến, do đó \( BM = CM \).

4. **Đối xứng:** Vì \( ME \) và \( MF \) là các đoạn thẳng từ M vuông góc với các cạnh của tam giác cân, nên \( E \) và \( F \) đối xứng nhau qua \( AM \).

Do đó, \( AM \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( EF \).

### c) Chứng minh EF // BC

1. **Góc vuông:** Ta có \( ME \perp AB \) và \( MF \perp AC \), do đó \( \angle MEB = \angle MFB = 90^\circ \).

2. **Đối xứng:** Vì \( E \) và \( F \) đối xứng nhau qua \( AM \), nên \( ME = MF \).

3. **Tam giác cân:** Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).

4. **Trung tuyến:** \( AM \) là trung tuyến, do đó \( BM = CM \).

Vì \( E \) và \( F \) đối xứng nhau qua \( AM \), và \( ME \) và \( MF \) đều vuông góc với \( AB \) và \( AC \), nên \( EF \) song song với \( BC \).

### d) Chứng minh 3 điểm A, M, D thẳng hàng

1. **Đường vuông góc:** Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với \( AC \) tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D.

2. **Tam giác cân:** Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).

3. **Trung tuyến:** \( AM \) là trung tuyến, do đó \( BM = CM \).

4. **Góc vuông:** Vì \( D \) là giao điểm của hai đường vuông góc từ \( B \) và \( C \), nên \( D \) nằm trên đường trung trực của \( BC \).

Do đó, \( D \) nằm trên đường trung trực của \( BC \), mà \( AM \) là trung tuyến của tam giác cân \( ABC \), nên \( AM \) cũng là đường trung trực của \( BC \). Vì vậy, \( A \), \( M \), và \( D \) thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.