Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB = AC\). Qua \(A\) vẽ đường thẳng \(d\) sao cho \(B\) và \(C\) nằm cùng phía đối diện với đường thẳng \(d\). Kẻ \(BH\) và \(CK\) vuông góc với \(d\). Chúng ta sẽ chứng minh rằng:

a) \(AH = CK\)

b) \(HK = BH + CK\)

### Chứng minh:

#### a) \(AH = CK\)

1. **Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)**:
- Vì \(AB = AC\) và \(\angle A = 90^\circ\), tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).

2. **Đường thẳng \(d\) qua \(A\)**:
- Đường thẳng \(d\) qua \(A\) và \(B\), \(C\) nằm cùng phía đối diện với \(d\).

3. **Kẻ \(BH\) và \(CK\) vuông góc với \(d\)**:
- \(BH \perp d\) tại \(H\).
- \(CK \perp d\) tại \(K\).

4. **Xét hai tam giác vuông \(ABH\) và \(ACK\)**:
- Trong tam giác \(ABH\), \(\angle ABH = 90^\circ\) và \(BH \perp d\).
- Trong tam giác \(ACK\), \(\angle ACK = 90^\circ\) và \(CK \perp d\).

5. **Chứng minh \(AH = CK\)**:
- Xét hai tam giác vuông \(ABH\) và \(ACK\):
- \(AB = AC\) (giả thiết).
- \(\angle BAH = \angle CAK = 90^\circ\) (do \(BH \perp d\) và \(CK \perp d\)).
- \(AH\) và \(CK\) là các đoạn vuông góc từ \(A\) đến \(d\).

- Do đó, hai tam giác vuông \(ABH\) và \(ACK\) có cạnh huyền bằng nhau và một góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng và có các cạnh tương ứng bằng nhau. Vì vậy, \(AH = CK\).

#### b) \(HK = BH + CK\)

1. **Xét đoạn thẳng \(HK\)**:
- \(H\) và \(K\) là các chân đường vuông góc từ \(B\) và \(C\) xuống \(d\).

2. **Tính độ dài \(HK\)**:
- Vì \(BH \perp d\) và \(CK \perp d\), \(H\) và \(K\) nằm trên đường thẳng \(d\).

3. **Chứng minh \(HK = BH + CK\)**:
- Do \(H\) và \(K\) nằm trên đường thẳng \(d\) và \(BH \perp d\), \(CK \perp d\), nên đoạn thẳng \(HK\) chính là tổng của các đoạn vuông góc từ \(B\) và \(C\) đến \(d\).

- Vì vậy, \(HK = BH + CK\).

### Kết luận:
- a) \(AH = CK\).
- b) \(HK = BH + CK\).