Để chứng minh rằng \( ID = IE \) trong tam giác \( ABC \) với \( \angle A = 60^\circ \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường phân giác và tam giác đều.

1. **Tính chất của đường phân giác:**
- Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Cụ thể:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{và} \quad \frac{CE}{EB} = \frac{AC}{AB}
\]

2. **Xét tam giác \( AID \) và \( AIE \):**
- Vì \( I \) là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác \( ABC \), nên \( I \) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \). Do đó, \( I \) cách đều các cạnh của tam giác \( ABC \).

3. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Vì \( \angle A = 60^\circ \), tam giác \( AID \) và \( AIE \) có một góc \( 60^\circ \) và hai cạnh kề là các đường phân giác. Do đó, các tam giác này có tính chất đặc biệt của tam giác đều.

4. **Chứng minh \( ID = IE \):**
- Xét tam giác \( AID \) và \( AIE \):
- \( \angle AID = \angle AIE = 60^\circ \) (do \( \angle A = 60^\circ \) và \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp).
- \( AI \) là đường phân giác chung của \( \angle BAC \), nên \( AI \) chia \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau, mỗi góc là \( 30^\circ \).
- Do đó, tam giác \( AID \) và \( AIE \) đều có góc \( 60^\circ \) và hai cạnh kề là các đường phân giác, nên chúng là các tam giác đều.

5. **Kết luận:**
- Vì tam giác \( AID \) và \( AIE \) là các tam giác đều, nên các cạnh \( ID \) và \( IE \) của chúng bằng nhau.
\[
ID = IE
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( ID = IE \).