Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh rằng EG + FH = AB

Để chứng minh rằng \( EG + FH = AB \), chúng ta cần sử dụng một số tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất liên quan đến đường trung bình và các đường thẳng song song.

Giả sử \( A, B, C \) là ba điểm không thẳng hàng và \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \( AB \), vẽ các đường thẳng song song với \( BA \) cắt cạnh \( AC \) tại \( G \) và \( H \). Ta cần chứng minh rằng \( EG + FH = AB \).

1. **Xét tam giác \( ABC \)**:
- \( O \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AO = OB = \frac{AB}{2} \).

2. **Vẽ các đường thẳng song song với \( BA \)**:
- Giả sử \( E \) và \( F \) là các điểm trên \( AC \) sao cho \( EG \parallel BA \) và \( FH \parallel BA \).

3. **Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác**:
- Trong tam giác \( AEG \), \( EG \parallel BA \) và \( E \) nằm trên \( AC \). Do đó, \( EG \) là đường trung bình của tam giác \( AEG \), và \( EG = \frac{AB}{2} \).
- Tương tự, trong tam giác \( AFH \), \( FH \parallel BA \) và \( F \) nằm trên \( AC \). Do đó, \( FH \) là đường trung bình của tam giác \( AFH \), và \( FH = \frac{AB}{2} \).

4. **Tổng độ dài các đoạn thẳng**:
- Từ các tính chất trên, ta có:
\[
EG = \frac{AB}{2} \quad \text{và} \quad FH = \frac{AB}{2}
\]
- Do đó, tổng độ dài của \( EG \) và \( FH \) là:
\[
EG + FH = \frac{AB}{2} + \frac{AB}{2} = AB
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( EG + FH = AB \).