Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( \frac{1}{p} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \) với \( a \) và \( b \) là các số nguyên dương, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình:**
\[
\frac{1}{p} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{1}{p} = \frac{b^2 + a^2}{a^2 b^2}
\]
Do đó:
\[
p = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}
\]

2. **Phân tích điều kiện:**
Để \( p \) là số nguyên tố, \( \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} \) phải là số nguyên tố. Điều này có nghĩa là \( a^2 + b^2 \) phải chia hết cho \( a^2 b^2 \).

3. **Thử các giá trị nhỏ của \( a \) và \( b \):**

- Với \( a = 1 \):
\[
p = \frac{1 \cdot b^2}{1 + b^2} = \frac{b^2}{1 + b^2}
\]
Điều này không thể là số nguyên vì \( b^2 \) không chia hết cho \( 1 + b^2 \).

- Với \( a = 2 \):
\[
p = \frac{4b^2}{4 + b^2}
\]
Ta cần \( 4 + b^2 \) chia hết cho \( b^2 \). Thử các giá trị nhỏ của \( b \):
- \( b = 1 \):
\[
p = \frac{4 \cdot 1^2}{4 + 1^2} = \frac{4}{5}
\]
Không phải số nguyên.
- \( b = 2 \):
\[
p = \frac{4 \cdot 2^2}{4 + 2^2} = \frac{16}{8} = 2
\]
\( 2 \) là số nguyên tố.

4. **Kiểm tra lại:**
Với \( a = 2 \) và \( b = 2 \):
\[
\frac{1}{p} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\]
Do đó:
\[
p = 2
\]

Vậy số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện là \( p = 2 \).