Để giải phương trình bậc hai \( mx^2 + 2mx - 1 = 0 \), ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong trường hợp này, \( a = m \), \( b = 2m \), và \( c = -1 \). Ta thay các giá trị này vào công thức nghiệm:

\[ x = \frac{-2m \pm \sqrt{(2m)^2 - 4(m)(-1)}}{2m} \]

Bây giờ ta tính toán từng phần:

1. Tính \( b^2 - 4ac \):

\[ b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4(m)(-1) = 4m^2 + 4m \]

2. Tính căn bậc hai của \( b^2 - 4ac \):

\[ \sqrt{4m^2 + 4m} = \sqrt{4m(m + 1)} = 2\sqrt{m(m + 1)} \]

3. Thay vào công thức nghiệm:

\[ x = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m(m + 1)}}{2m} \]

4. Rút gọn biểu thức:

\[ x = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m(m + 1)}}{2m} = \frac{-2m}{2m} \pm \frac{2\sqrt{m(m + 1)}}{2m} = -1 \pm \frac{\sqrt{m(m + 1)}}{m} \]

\[ x = -1 \pm \sqrt{\frac{m(m + 1)}{m^2}} = -1 \pm \sqrt{\frac{m + 1}{m}} \]

\[ x = -1 \pm \sqrt{1 + \frac{1}{m}} \]

Vậy nghiệm của phương trình \( mx^2 + 2mx - 1 = 0 \) là:

\[ x = -1 \pm \sqrt{1 + \frac{1}{m}} \]

Điều kiện để phương trình có nghiệm thực là \( m \neq 0 \) và \( 1 + \frac{1}{m} \geq 0 \).