Chúng ta sẽ giải từng phương trình một cách chi tiết.

### a. \( 5(x+1)^2 - 7(x-3)^2 = 0 \)

1. Mở rộng các biểu thức bình phương:
\[
5(x+1)^2 = 5(x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 10x + 5
\]
\[
7(x-3)^2 = 7(x^2 - 6x + 9) = 7x^2 - 42x + 63
\]

2. Thay vào phương trình ban đầu:
\[
5x^2 + 10x + 5 - (7x^2 - 42x + 63) = 0
\]

3. Đơn giản hóa:
\[
5x^2 + 10x + 5 - 7x^2 + 42x - 63 = 0
\]
\[
-2x^2 + 52x - 58 = 0
\]

4. Chia cả hai vế cho -2:
\[
x^2 - 26x + 29 = 0
\]

5. Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 1 \), \( b = -26 \), \( c = 29 \):
\[
x = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 116}}{2}
\]
\[
x = \frac{26 \pm \sqrt{560}}{2}
\]
\[
x = \frac{26 \pm 2\sqrt{140}}{2}
\]
\[
x = 13 \pm \sqrt{140}
\]

### b. \( 10x^3 + 31x^2 - 14x = 0 \)

1. Phân tích đa thức:
\[
x(10x^2 + 31x - 14) = 0
\]

2. Giải phương trình:
\[
x = 0
\]
hoặc
\[
10x^2 + 31x - 14 = 0
\]

3. Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-14)}}{2 \cdot 10}
\]
\[
x = \frac{-31 \pm \sqrt{961}}{20}
\]
\[
x = \frac{-31 \pm 31}{20}
\]
\[
x = \frac{-31 + 31}{20} = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-31 - 31}{20} = -3.1
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \) và \( x = -3.1 \).

### c. \( 12(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \)

1. Mở rộng và đơn giản hóa:
\[
12(x^2 - 6x + 9) = x^2 - 6x + 9
\]
\[
12x^2 - 72x + 108 = x^2 - 6x + 9
\]

2. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[
12x^2 - 72x + 108 - x^2 + 6x - 9 = 0
\]
\[
11x^2 - 66x + 99 = 0
\]

3. Chia cả hai vế cho 11:
\[
x^2 - 6x + 9 = 0
\]

4. Giải phương trình bậc hai:
\[
(x-3)^2 = 0
\]
\[
x = 3
\]

### d. \( \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x^2 + x + 1} = \frac{3x^2}{x^3 - 1} \)

1. Nhận thấy \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \):
\[
\frac{3x^2}{(x-1)(x^2 + x + 1)}
\]

2. Đưa về cùng mẫu số:
\[
\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x^2 + x + 1} = \frac{3x^2}{(x-1)(x^2 + x + 1)}
\]

3. Giải phương trình:
\[
\frac{(x^2 + x + 1) + 2(x-1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \frac{3x^2}{(x-1)(x^2 + x + 1)}
\]
\[
x^2 + x + 1 + 2x - 2 = 3x^2
\]
\[
x^2 + 3x - 1 = 3x^2
\]
\[
-2x^2 + 3x - 1 = 0
\]

4. Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{-4}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm 1}{-4}
\]
\[
x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{2}
\]

### e. \( 5 + \frac{96}{x^2 - 16} = \frac{2x-1}{x-4} - \frac{2x-1}{4-x} \)

1. Nhận thấy \( x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \):
\[
5 + \frac{96}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x-1}{x-4} - \frac{2x-1}{4-x}
\]

2. Đưa về cùng mẫu số:
\[
5 + \frac{96}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x-1}{x-4} + \frac{2x-1}{x-4}
\]

3. Giải phương trình:
\[
5 + \frac{96}{(x-4)(x+4)} = \frac{2(2x-1)}{x-4}
\]
\[
5 + \frac{96}{(x-4)(x+4)} = \frac{4x-2}{x-4}
\]

4. Đưa về cùng mẫu số:
\[
5(x-4)(x+4) + 96 = (4x-2)(x+4)
\]
\[
5x^2 - 80 + 96 = 4x^2 + 16x - 2x - 8
\]
\[
5x^2 + 16 = 4x^2 + 14x - 8
\]

5. Đưa về phương trình bậc hai:
\[
x^2 - 14x + 24 = 0
\]

6. Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}
\]
\[
x = \frac{14 \pm 10}{2}
\]
\[
x = 12 \quad \text{hoặc} \quad x = 2
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 12 \) và \( x = 2 \).