Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho và giải chúng.

Gọi \( x \) là số sản phẩm mà phân xưởng sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày.
Gọi \( y \) là số ngày theo kế hoạch để sản xuất 140 sản phẩm.

Theo kế hoạch, số sản phẩm sản xuất trong \( y \) ngày là:
\[ x \times y = 140 \]

Do mỗi ngày phân xưởng sản xuất vượt mức 2 sản phẩm, nên số sản phẩm sản xuất mỗi ngày thực tế là \( x + 2 \).

Phân xưởng đã hoàn thành sớm hơn dự định 8 ngày, nên số ngày thực tế để hoàn thành công việc là \( y - 8 \).

Số sản phẩm sản xuất trong số ngày thực tế là:
\[ (x + 2) \times (y - 8) = 140 \]

Chúng ta có hệ phương trình:
1. \( x \times y = 140 \)
2. \( (x + 2) \times (y - 8) = 140 \)

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (1), ta có:
\[ y = \frac{140}{x} \]

Thay vào phương trình (2):
\[ (x + 2) \times \left(\frac{140}{x} - 8\right) = 140 \]

Giải phương trình này:
\[ (x + 2) \times \left(\frac{140 - 8x}{x}\right) = 140 \]
\[ (x + 2) \times (140 - 8x) = 140x \]
\[ 140x + 280 - 8x^2 - 16x = 140x \]
\[ 280 - 16x = 0 \]
\[ 16x = 280 \]
\[ x = \frac{280}{16} \]
\[ x = 17.5 \]

Vậy, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất 17.5 sản phẩm theo kế hoạch.