Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) với ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại điểm K

Để chứng minh rằng góc \( \angle MXK = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của tam giác và trực tâm.

Trước hết, ta nhắc lại một số tính chất cơ bản:
1. Trong tam giác nhọn \( \triangle ABC \) với trực tâm \( H \), các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại \( H \).
2. Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( M \) là chân đường trung tuyến từ \( A \) đến \( BC \).
3. \( X \) nằm trên đoạn \( AD \) sao cho \( \angle BXC = 90^\circ \).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \( \angle MXK = 90^\circ \).

### Bước 1: Xác định vị trí của \( X \)
Do \( \angle BXC = 90^\circ \), \( X \) nằm trên đường tròn đường kính \( BC \). Đường tròn này có tâm là \( M \) và bán kính là \( MB = MC \).

### Bước 2: Tính chất của điểm \( K \)
Điểm \( K \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \). Ta biết rằng \( EF \) là đường thẳng đi qua chân các đường cao từ \( B \) và \( C \) (tức là \( E \) và \( F \)).

### Bước 3: Chứng minh \( \angle MXK = 90^\circ \)
Ta cần chứng minh rằng \( MX \) vuông góc với \( XK \).

- Do \( X \) nằm trên đường tròn đường kính \( BC \), ta có \( MX = MB = MC \).
- \( K \) nằm trên \( BC \), do đó \( MK \) là một đoạn thẳng nằm trên \( BC \).

Bây giờ, ta xét tam giác \( \triangle BXC \):
- \( \angle BXC = 90^\circ \) theo giả thiết.
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( M \) là tâm của đường tròn đường kính \( BC \).

Vì \( X \) nằm trên đường tròn đường kính \( BC \) và \( \angle BXC = 90^\circ \), \( X \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \).

### Bước 4: Sử dụng tính chất đối xứng
- Do \( X \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \), ta có \( MX \) là đường trung trực của \( AD \).
- \( K \) nằm trên \( BC \), và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

Vì \( X \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \), \( MX \) sẽ vuông góc với \( AD \) tại \( X \).

### Kết luận
Từ các bước trên, ta có:
- \( MX \) vuông góc với \( AD \) tại \( X \).
- \( K \) nằm trên \( BC \), và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

Do đó, \( \angle MXK = 90^\circ \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( \angle MXK = 90^\circ \).