Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) với \(AB = AC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

a) Chứng minh rằng \(\angle B = \angle C\):

Vì \(AB = AC\), tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\). Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Do đó, ta có:
\[
\angle B = \angle C
\]

b) Chứng minh rằng \(AM\) vuông góc với \(BC\):

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tức là \(BM = MC\).

Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM\):

- \(AB = AC\) (giả thiết)
- \(BM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))
- \(AM\) là cạnh chung

Do đó, theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:
\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
\]

Từ đó, suy ra:
\[
\angle BAM = \angle CAM
\]

Vì \(\angle BAM\) và \(\angle CAM\) là hai góc kề bù, nên:
\[
\angle BAM + \angle CAM = 180^\circ
\]

Do đó:
\[
2\angle BAM = 180^\circ \implies \angle BAM = 90^\circ
\]

Vậy \(AM\) vuông góc với \(BC\).