Cho hình thang ABCD (AB < CD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BD, AC, đường thẳng vuông góc với MN tại N và đường thẳng MP tại P cắt nhau tại E. Gọi Q là trung điểm DC. Chứng minh NE vuông góc PQ

Để chứng minh \( NE \) vuông góc với \( PQ \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB < CD \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và đường thẳng:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của \( BD \).
- \( P \) là trung điểm của \( AC \).
- \( Q \) là trung điểm của \( DC \).

2. **Xác định các đường thẳng vuông góc:**
- Đường thẳng vuông góc với \( MN \) tại \( N \) là đường thẳng \( d_1 \).
- Đường thẳng vuông góc với \( MP \) tại \( P \) là đường thẳng \( d_2 \).

3. **Giao điểm của \( d_1 \) và \( d_2 \):**
- Gọi \( E \) là giao điểm của \( d_1 \) và \( d_2 \).

4. **Chứng minh \( NE \) vuông góc với \( PQ \):**
- Ta cần chứng minh rằng \( NE \) vuông góc với \( PQ \).

**Phân tích hình học:**

- Vì \( M, N, P, Q \) là các trung điểm của các cạnh của hình thang, ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của \( BD \).
- \( P \) là trung điểm của \( AC \).
- \( Q \) là trung điểm của \( DC \).

- Xét tam giác \( ABD \):
- \( N \) là trung điểm của \( BD \), nên \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( ABD \), do đó \( MN \parallel AD \) và \( MN = \frac{1}{2}AD \).

- Xét tam giác \( ACD \):
- \( P \) là trung điểm của \( AC \), nên \( MP \) là đường trung bình của tam giác \( ACD \), do đó \( MP \parallel CD \) và \( MP = \frac{1}{2}CD \).

- Xét tam giác \( DBC \):
- \( Q \) là trung điểm của \( DC \), nên \( PQ \) là đường trung bình của tam giác \( DBC \), do đó \( PQ \parallel BC \) và \( PQ = \frac{1}{2}BC \).

**Chứng minh vuông góc:**

- Vì \( d_1 \) vuông góc với \( MN \) tại \( N \) và \( d_2 \) vuông góc với \( MP \) tại \( P \), nên \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc này.

- Ta cần chứng minh rằng \( NE \) vuông góc với \( PQ \).

- Do \( MN \parallel AD \) và \( MP \parallel CD \), ta có:
- \( d_1 \) vuông góc với \( AD \) tại \( N \).
- \( d_2 \) vuông góc với \( CD \) tại \( P \).

- Vì \( AD \) và \( CD \) là các cạnh của hình thang, nên \( AD \) và \( CD \) không song song và tạo thành một góc nào đó.

- Do đó, \( d_1 \) và \( d_2 \) cắt nhau tại \( E \) và tạo thành một góc vuông tại \( E \).

- Vì \( Q \) là trung điểm của \( DC \), nên \( PQ \parallel AD \).

- Do đó, \( NE \) vuông góc với \( PQ \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( NE \) vuông góc với \( PQ \).