Để bất phương trình \((m-2)x² + (m-2)x + m \geq 0\) vô nghiệm, ta cần xem xét các trường hợp của hệ số \(m-2\).

### Trường hợp 1: \(m-2 = 0\)
Khi \(m-2 = 0\), tức là \(m = 2\), bất phương trình trở thành:
\[m \geq 0 \Rightarrow 2 \geq 0\]
Điều này luôn đúng, do đó bất phương trình không vô nghiệm trong trường hợp này.

### Trường hợp 2: \(m-2 \neq 0\)
Khi \(m-2 \neq 0\), ta có thể chia cả hai vế của bất phương trình cho \(m-2\) (vì \(m-2 \neq 0\)):

\[x² + x + \frac{m}{m-2} \geq 0\]

Để bất phương trình này vô nghiệm, phương trình \(x² + x + \frac{m}{m-2} = 0\) phải không có nghiệm thực. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\[\Delta < 0\]

Với \(\Delta\) là biệt thức của phương trình bậc hai:

\[\Delta = 1² - 4 \cdot 1 \cdot \frac{m}{m-2} = 1 - \frac{4m}{m-2}\]

Ta cần:

\[1 - \frac{4m}{m-2} < 0\]

Giải bất phương trình này:

\[1 < \frac{4m}{m-2}\]

\[m-2 < 4m\]

\[-2 < 3m\]

\[m > -\frac{2}{3}\]

Kết hợp với điều kiện \(m \neq 2\), ta có:

\[m > -\frac{2}{3}\] và \(m \neq 2\)

### Kết luận
Bất phương trình \((m-2)x² + (m-2)x + m \geq 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi:

\[m > -\frac{2}{3}\] và \(m \neq 2\)