Cho hình thang ABCD (AB // CD) có tổng hai góc C và góc D bằng 90°. Hai cạnh bên cắt nhau tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có tổng hai góc C và góc D bằng 90°. Hai cạnh bên cắt nhau tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:

a) O, M, N thẳng hàng

b) MN = (CD - AB) / 2

**Giải:**

**a) Chứng minh O, M, N thẳng hàng**

Xét hình thang ABCD với AB // CD và tổng hai góc C và D bằng 90°. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD.

Ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( M \) chia \( AB \) thành hai đoạn bằng nhau.
- \( N \) là trung điểm của \( CD \), nên \( N \) chia \( CD \) thành hai đoạn bằng nhau.

Xét tam giác \( AOD \) và \( BOC \):
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng nối từ \( A \) đến \( B \).
- \( N \) là trung điểm của \( CD \), nên \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng nối từ \( C \) đến \( D \).

Do \( AB \parallel CD \), nên \( \angle AOD = \angle BOC \).

Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh của một tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh đó. Do đó, đường thẳng nối trung điểm \( M \) của \( AB \) và trung điểm \( N \) của \( CD \) sẽ song song với \( AD \) và \( BC \).

Vì \( AB \parallel CD \), nên đường thẳng nối \( M \) và \( N \) cũng song song với \( AB \) và \( CD \).

Do đó, \( O, M, N \) thẳng hàng.

**b) Chứng minh MN = (CD - AB) / 2**

Xét hình thang ABCD với AB // CD và tổng hai góc C và D bằng 90°. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD.

Ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( M \) chia \( AB \) thành hai đoạn bằng nhau.
- \( N \) là trung điểm của \( CD \), nên \( N \) chia \( CD \) thành hai đoạn bằng nhau.

Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh của một tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh đó. Do đó, đường thẳng nối trung điểm \( M \) của \( AB \) và trung điểm \( N \) của \( CD \) sẽ song song với \( AD \) và \( BC \).

Vì \( AB \parallel CD \), nên đường thẳng nối \( M \) và \( N \) cũng song song với \( AB \) và \( CD \).

Do đó, độ dài đoạn thẳng \( MN \) sẽ bằng nửa hiệu độ dài của \( CD \) và \( AB \):

\[ MN = \frac{CD - AB}{2} \]

Vậy ta đã chứng minh được \( MN = \frac{CD - AB}{2} \).