Để chứng minh rằng \( B = 1 + 2^2 + 2 + 4 + 8 + 2^{2020} \) chia hết cho 21, ta sẽ tính giá trị của \( B \) theo modulo 21.

Trước hết, ta tính các giá trị nhỏ hơn của \( B \):

\[
1 + 2^2 + 2 + 4 + 8 = 1 + 4 + 2 + 4 + 8 = 19
\]

Bây giờ, ta cần tính \( 2^{2020} \mod 21 \). Để làm điều này, ta sử dụng định lý Fermat nhỏ, theo đó nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là số nguyên không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \).

Ở đây, \( p = 21 \) không phải là số nguyên tố, nhưng ta có thể sử dụng tính chất của các số nguyên tố chia hết cho 21, tức là 3 và 7. Ta sẽ tính \( 2^{2020} \mod 3 \) và \( 2^{2020} \mod 7 \), sau đó sử dụng định lý số dư Trung Hoa để kết hợp các kết quả này.

1. Tính \( 2^{2020} \mod 3 \):

\[
2 \equiv -1 \mod 3 \Rightarrow 2^{2020} \equiv (-1)^{2020} \equiv 1 \mod 3
\]

2. Tính \( 2^{2020} \mod 7 \):

Theo định lý Fermat nhỏ, vì 7 là số nguyên tố:

\[
2^6 \equiv 1 \mod 7
\]

Ta có thể viết \( 2020 = 6 \times 336 + 4 \), do đó:

\[
2^{2020} = (2^6)^{336} \times 2^4 \equiv 1^{336} \times 2^4 \equiv 2^4 \mod 7
\]

Tính \( 2^4 \mod 7 \):

\[
2^4 = 16 \equiv 2 \mod 7
\]

Vậy, \( 2^{2020} \equiv 2 \mod 7 \).

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình đồng dư:

\[
\begin{cases}
2^{2020} \equiv 1 \mod 3 \\
2^{2020} \equiv 2 \mod 7
\end{cases}
\]

Sử dụng định lý số dư Trung Hoa, ta tìm \( x \) sao cho:

\[
\begin{cases}
x \equiv 1 \mod 3 \\
x \equiv 2 \mod 7
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này, ta thấy \( x = 2 \) thỏa mãn cả hai điều kiện (vì \( 2 \equiv 2 \mod 7 \) và \( 2 \equiv 1 \mod 3 \)).

Vậy \( 2^{2020} \equiv 2 \mod 21 \).

Cuối cùng, ta tính \( B \mod 21 \):

\[
B = 19 + 2^{2020} \equiv 19 + 2 \equiv 21 \equiv 0 \mod 21
\]

Do đó, \( B \) chia hết cho 21. Vậy ta đã chứng minh được rằng \( B = 1 + 2^2 + 2 + 4 + 8 + 2^{2020} \) chia hết cho 21.