Để chứng minh rằng trong 3 số \(a\), \(b\), \(c\) có ít nhất 1 số dương, ta sẽ phân tích các biểu thức đã cho:

\[ x = a^2 + b^2 + 2bc \]
\[ y = b^2 + c^2 + 2ca \]
\[ z = c^2 + a^2 + 2ab \]

Giả sử ngược lại rằng \(a \leq 0\), \(b \leq 0\), và \(c \leq 0\). Điều này có nghĩa là tất cả các số \(a\), \(b\), và \(c\) đều không dương (tức là không có số nào dương).

Xét biểu thức \(x\):

\[ x = a^2 + b^2 + 2bc \]

Vì \(a \leq 0\), \(b \leq 0\), và \(c \leq 0\), ta có:

- \(a^2 \geq 0\)
- \(b^2 \geq 0\)
- \(2bc \geq 0\) (vì \(b \leq 0\) và \(c \leq 0\), nên tích của hai số không dương là không âm)

Do đó, \(x \geq 0\).

Tương tự, xét biểu thức \(y\):

\[ y = b^2 + c^2 + 2ca \]

Vì \(b \leq 0\), \(c \leq 0\), và \(a \leq 0\), ta có:

- \(b^2 \geq 0\)
- \(c^2 \geq 0\)
- \(2ca \geq 0\) (vì \(c \leq 0\) và \(a \leq 0\), nên tích của hai số không dương là không âm)

Do đó, \(y \geq 0\).

Cuối cùng, xét biểu thức \(z\):

\[ z = c^2 + a^2 + 2ab \]

Vì \(c \leq 0\), \(a \leq 0\), và \(b \leq 0\), ta có:

- \(c^2 \geq 0\)
- \(a^2 \geq 0\)
- \(2ab \geq 0\) (vì \(a \leq 0\) và \(b \leq 0\), nên tích của hai số không dương là không âm)

Do đó, \(z \geq 0\).

Từ các phân tích trên, ta thấy rằng nếu \(a \leq 0\), \(b \leq 0\), và \(c \leq 0\), thì \(x\), \(y\), và \(z\) đều không âm. Tuy nhiên, điều này không mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng \(a\), \(b\), và \(c\) đều không dương.

Để chứng minh rằng trong 3 số \(a\), \(b\), \(c\) có ít nhất 1 số dương, ta cần xem xét trường hợp ngược lại. Giả sử rằng \(a\), \(b\), và \(c\) đều không dương, tức là \(a \leq 0\), \(b \leq 0\), và \(c \leq 0\). Khi đó, các biểu thức \(x\), \(y\), và \(z\) sẽ có các giá trị không âm như đã phân tích ở trên.

Tuy nhiên, nếu tất cả \(a\), \(b\), và \(c\) đều bằng 0, thì \(x\), \(y\), và \(z\) đều bằng 0:

\[ x = 0^2 + 0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \]
\[ y = 0^2 + 0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \]
\[ z = 0^2 + 0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \]

Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng \(x\), \(y\), và \(z\) là các số dương. Do đó, giả thiết rằng \(a\), \(b\), và \(c\) đều không dương là sai. Vậy trong 3 số \(a\), \(b\), \(c\) phải có ít nhất 1 số dương.