Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học cơ bản và các định lý liên quan đến tam giác vuông và trọng tâm của tam giác.

**a) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC**

Trước tiên, ta cần nhắc lại rằng trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó.

1. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao từ A xuống BC.
2. Đường thẳng qua H song song với AB cắt AC tại K, tức là HK // AB.
3. Nối BK cắt AH tại G.

Ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC, tức là G là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

- Đường trung tuyến từ A đến BC là AM, với M là trung điểm của BC.
- Đường trung tuyến từ B đến AC là BI, với I là trung điểm của AC.
- Đường trung tuyến từ C đến AB là CI, với I là trung điểm của AB.

Do đó, G là giao điểm của BK và AH, và vì BK là đường trung tuyến từ B đến AC (do K là trung điểm của AC), nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

**b) Chứng minh C, G, I thẳng hàng**

Ta đã biết G là trọng tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của AB.

- Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, với tỉ lệ 2:1, tức là AG:GM = 2:1.
- Vì I là trung điểm của AB, nên CI là đường trung tuyến từ C đến AB.

Do đó, C, G, I thẳng hàng vì G nằm trên đường trung tuyến CI của tam giác ABC.

**c) Chứng minh KI là đường trung trực của AH**

1. Vì H là chân đường cao từ A xuống BC, nên AH vuông góc với BC.
2. K là điểm trên AC sao cho HK // AB, tức là HK vuông góc với AC tại K.
3. I là trung điểm của AB.

Ta cần chứng minh KI là đường trung trực của AH, tức là KI vuông góc với AH và cắt AH tại trung điểm của AH.

- Vì K nằm trên AC và HK // AB, nên K là điểm đối xứng của H qua trung điểm của AC.
- Do đó, KI là đường trung trực của AH vì nó đi qua trung điểm của AH và vuông góc với AH.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.