Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức tính diện tích tam giác và một số phép biến đổi đại số. Hãy làm theo các bước sau:

1. **Đặt các biến số:**
- Gọi \( h \) là chiều cao của tam giác ban đầu.
- Gọi \( a \) là độ dài cạnh đáy của tam giác ban đầu.

2. **Biểu diễn mối quan hệ giữa chiều cao và cạnh đáy:**
- Theo đề bài, cạnh đáy bằng \(\frac{5}{4}\) chiều cao, do đó:
\[
a = \frac{5}{4}h
\]

3. **Tính diện tích tam giác ban đầu:**
- Diện tích tam giác ban đầu \( S \) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4}h \times h = \frac{5}{8}h^2
\]

4. **Xét tam giác mới khi kéo dài đáy thêm 5 cm:**
- Độ dài cạnh đáy mới là \( a + 5 \).
- Diện tích tam giác mới \( S' \) là:
\[
S' = \frac{1}{2} \times (a + 5) \times h = \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{4}h + 5\right) \times h
\]
- Đơn giản hóa biểu thức:
\[
S' = \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{4}h + 5\right) \times h = \frac{1}{2} \left(\frac{5}{4}h^2 + 5h\right) = \frac{5}{8}h^2 + \frac{5}{2}h
\]

5. **Tính sự thay đổi diện tích:**
- Theo đề bài, diện tích tam giác tăng thêm 30 cm² khi kéo dài đáy thêm 5 cm:
\[
S' - S = 30
\]
- Thay các giá trị \( S \) và \( S' \) vào phương trình:
\[
\left(\frac{5}{8}h^2 + \frac{5}{2}h\right) - \frac{5}{8}h^2 = 30
\]
- Đơn giản hóa phương trình:
\[
\frac{5}{2}h = 30
\]
- Giải phương trình để tìm \( h \):
\[
h = \frac{30 \times 2}{5} = 12 \text{ cm}
\]

6. **Tính diện tích tam giác ban đầu:**
- Thay \( h = 12 \) cm vào công thức diện tích ban đầu:
\[
S = \frac{5}{8}h^2 = \frac{5}{8} \times 12^2 = \frac{5}{8} \times 144 = 90 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác ban đầu là \( 90 \text{ cm}^2 \).

**Hình vẽ minh họa:**

```
A
/\
/ \
/ \
/ \
/________\
B C

- Đáy BC = a = \frac{5}{4}h
- Chiều cao từ A đến BC là h
```

Khi kéo dài đáy thêm 5 cm:

```
A
/\
/ \
/ \
/ \
/________\
B C
\_________\
D

- Đáy BD = a + 5
- Chiều cao từ A đến BD vẫn là h
```

Hy vọng rằng các bước trên giúp bạn hiểu rõ cách giải bài toán này.