Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức liên quan đến diện tích tam giác và các mối quan hệ giữa các cạnh và chiều cao.

Gọi \( h \) là chiều cao của tam giác ban đầu và \( a \) là độ dài cạnh đáy ban đầu. Theo đề bài, ta có:
\[ a = \frac{5}{4}h \]

Diện tích tam giác ban đầu là:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4}h \times h = \frac{5}{8}h^2 \]

Khi kéo dài đáy thêm 5 cm, độ dài cạnh đáy mới là \( a + 5 \). Diện tích tam giác mới là:
\[ S' = \frac{1}{2} \times (a + 5) \times h \]

Theo đề bài, diện tích tam giác tăng thêm 30 cm², do đó:
\[ S' = S + 30 \]

Thay các giá trị vào phương trình trên, ta có:
\[ \frac{1}{2} \times (a + 5) \times h = \frac{5}{8}h^2 + 30 \]

Thay \( a = \frac{5}{4}h \) vào phương trình trên:
\[ \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{4}h + 5\right) \times h = \frac{5}{8}h^2 + 30 \]

Giải phương trình này:
\[ \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{4}h + 5\right) \times h = \frac{5}{8}h^2 + 30 \]
\[ \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{4}h + 5\right) \times h = \frac{5}{8}h^2 + 30 \]
\[ \frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{4}h^2 + 5h\right) = \frac{5}{8}h^2 + 30 \]
\[ \frac{1}{2} \times \frac{5}{4}h^2 + \frac{1}{2} \times 5h = \frac{5}{8}h^2 + 30 \]
\[ \frac{5}{8}h^2 + \frac{5}{2}h = \frac{5}{8}h^2 + 30 \]

Trừ \(\frac{5}{8}h^2\) từ cả hai vế:
\[ \frac{5}{2}h = 30 \]
\[ h = \frac{30 \times 2}{5} \]
\[ h = 12 \]

Thay \( h = 12 \) vào công thức tính diện tích ban đầu:
\[ S = \frac{5}{8}h^2 = \frac{5}{8} \times 12^2 = \frac{5}{8} \times 144 = 90 \]

Vậy diện tích tam giác ban đầu là \( 90 \, \text{cm}^2 \).