Để chứng minh rằng \( \frac{1}{4} < S < \frac{91}{330} \) với \( S = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \ldots + \frac{1}{130} \), ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức và tính toán gần đúng.

### Bước 1: Tính gần đúng cho \( S \)

Ta có:
\[ S = \sum_{k=101}^{130} \frac{1}{k} \]

### Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức tích phân

Một cách để ước lượng tổng này là sử dụng tích phân. Ta biết rằng:
\[ \int_{101}^{131} \frac{1}{x} \, dx < \sum_{k=101}^{130} \frac{1}{k} < \int_{100}^{130} \frac{1}{x} \, dx \]

Tính tích phân:
\[ \int_{101}^{131} \frac{1}{x} \, dx = \ln(131) - \ln(101) = \ln\left(\frac{131}{101}\right) \]
\[ \int_{100}^{130} \frac{1}{x} \, dx = \ln(130) - \ln(100) = \ln\left(\frac{130}{100}\right) \]

### Bước 3: Tính giá trị gần đúng của các logarit

Sử dụng giá trị gần đúng của logarit tự nhiên:
\[ \ln(131) \approx 4.8752 \]
\[ \ln(101) \approx 4.6151 \]
\[ \ln(130) \approx 4.8675 \]
\[ \ln(100) \approx 4.6052 \]

Do đó:
\[ \ln\left(\frac{131}{101}\right) \approx 4.8752 - 4.6151 = 0.2601 \]
\[ \ln\left(\frac{130}{100}\right) \approx 4.8675 - 4.6052 = 0.2623 \]

Vậy:
\[ 0.2601 < S < 0.2623 \]

### Bước 4: So sánh với các giá trị cho trước

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{1}{4} < S < \frac{91}{330} \]

Tính giá trị của các phân số:
\[ \frac{1}{4} = 0.25 \]
\[ \frac{91}{330} \approx 0.2758 \]

Rõ ràng:
\[ 0.25 < 0.2601 < S < 0.2623 < 0.2758 \]

Do đó, ta có:
\[ \frac{1}{4} < S < \frac{91}{330} \]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( \frac{1}{4} < S < \frac{91}{330} \).