Để chứng minh đẳng thức \(2 (a^5 + b^5 + c^5) = 5abc(a^2 + b^2 + c^2)\) khi \(a + b + c = 0\), ta có thể sử dụng các tính chất của đa thức và đẳng thức cơ bản. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Giả thiết:**
\[
a + b + c = 0
\]

2. **Mục tiêu:**
\[
2 (a^5 + b^5 + c^5) = 5abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

3. **Phân tích và chứng minh:**

Đầu tiên, ta sử dụng đẳng thức \(a + b + c = 0\) để biểu diễn \(c\) theo \(a\) và \(b\):
\[
c = -(a + b)
\]

Thay \(c = -(a + b)\) vào \(a^5 + b^5 + c^5\):
\[
a^5 + b^5 + c^5 = a^5 + b^5 + (-(a + b))^5
\]

Tính \((-(a + b))^5\):
\[
(-(a + b))^5 = -(a + b)^5
\]

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton cho \((a + b)^5\):
\[
(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
\]

Do đó:
\[
(-(a + b))^5 = -(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)
\]

Vậy:
\[
a^5 + b^5 + c^5 = a^5 + b^5 - (a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)
\]

Rút gọn:
\[
a^5 + b^5 + c^5 = - (5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4)
\]

Nhóm các hạng tử:
\[
a^5 + b^5 + c^5 = - 5ab(a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3)
\]

Tiếp theo, ta tính \(abc(a^2 + b^2 + c^2)\):
\[
abc(a^2 + b^2 + c^2) = abc(a^2 + b^2 + (-(a + b))^2)
\]

Tính \((-(a + b))^2\):
\[
(-(a + b))^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Vậy:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2ab
\]

Do đó:
\[
abc(a^2 + b^2 + c^2) = abc(2a^2 + 2b^2 + 2ab) = 2abc(a^2 + b^2 + ab)
\]

Nhân hai vế với 5:
\[
5abc(a^2 + b^2 + c^2) = 10abc(a^2 + b^2 + ab)
\]

So sánh với kết quả trước đó:
\[
2(a^5 + b^5 + c^5) = 2(-5ab(a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3)) = -10ab(a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3)
\]

Ta thấy rằng:
\[
-10ab(a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3) = 10abc(a^2 + b^2 + ab)
\]

Vậy:
\[
2(a^5 + b^5 + c^5) = 5abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Điều này chứng minh đẳng thức đã cho.