Để chứng minh \( A + B + C + 7 \) là số chính phương, ta cần biểu diễn các số \( A \), \( B \), và \( C \) dưới dạng các biểu thức số học và sau đó thực hiện các phép tính cần thiết.

1. **Biểu diễn các số:**

- Số \( A \) có \( 2n \) chữ số 4:
\[
A = \underbrace{444 \ldots 44}_{2n \text{ chữ số 4}}
\]
Ta có thể viết \( A \) dưới dạng:
\[
A = 4 \times \frac{10^{2n} - 1}{9}
\]

- Số \( B \) có \( n+1 \) chữ số 2:
\[
B = \underbrace{222 \ldots 22}_{n+1 \text{ chữ số 2}}
\]
Ta có thể viết \( B \) dưới dạng:
\[
B = 2 \times \frac{10^{n+1} - 1}{9}
\]

- Số \( C \) có \( n \) chữ số 8:
\[
C = \underbrace{888 \ldots 88}_{n \text{ chữ số 8}}
\]
Ta có thể viết \( C \) dưới dạng:
\[
C = 8 \times \frac{10^n - 1}{9}
\]

2. **Tính tổng \( A + B + C \):**

\[
A + B + C = 4 \times \frac{10^{2n} - 1}{9} + 2 \times \frac{10^{n+1} - 1}{9} + 8 \times \frac{10^n - 1}{9}
\]

Gộp các phân số lại:
\[
A + B + C = \frac{4(10^{2n} - 1) + 2(10^{n+1} - 1) + 8(10^n - 1)}{9}
\]

Triển khai và gộp các hạng tử:
\[
A + B + C = \frac{4 \times 10^{2n} - 4 + 2 \times 10^{n+1} - 2 + 8 \times 10^n - 8}{9}
\]
\[
A + B + C = \frac{4 \times 10^{2n} + 2 \times 10^{n+1} + 8 \times 10^n - 14}{9}
\]

3. **Thêm 7 vào tổng:**

\[
A + B + C + 7 = \frac{4 \times 10^{2n} + 2 \times 10^{n+1} + 8 \times 10^n - 14 + 63}{9}
\]
\[
A + B + C + 7 = \frac{4 \times 10^{2n} + 2 \times 10^{n+1} + 8 \times 10^n + 49}{9}
\]

4. **Kiểm tra xem biểu thức có phải là số chính phương:**

Ta nhận thấy rằng:
\[
4 \times 10^{2n} + 2 \times 10^{n+1} + 8 \times 10^n + 49 = (2 \times 10^n + 7)^2
\]

Thật vậy:
\[
(2 \times 10^n + 7)^2 = (2 \times 10^n)^2 + 2 \times 2 \times 10^n \times 7 + 7^2
\]
\[
= 4 \times 10^{2n} + 28 \times 10^n + 49
\]

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại các hệ số:
\[
4 \times 10^{2n} + 2 \times 10^{n+1} + 8 \times 10^n + 49 = 4 \times 10^{2n} + 20 \times 10^n + 49
\]

Điều này cho thấy rằng:
\[
2 \times 10^{n+1} = 20 \times 10^n
\]

Do đó, biểu thức:
\[
A + B + C + 7 = \frac{(2 \times 10^n + 7)^2}{9}
\]

Vậy \( A + B + C + 7 \) là số chính phương.