Để rút gọn biểu thức \( A = (2x - 1)^2 + 2(2x - 1)(x + 1) + (x + 1)^2 \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Khai triển các bình phương**:
\[
(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1
\]
\[
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]

2. **Khai triển tích**:
\[
2(2x - 1)(x + 1) = 2 \left( (2x - 1)(x + 1) \right)
\]
\[
(2x - 1)(x + 1) = 2x(x + 1) - 1(x + 1) = 2x^2 + 2x - x - 1 = 2x^2 + x - 1
\]
\[
2(2x^2 + x - 1) = 4x^2 + 2x - 2
\]

3. **Cộng các biểu thức đã khai triển**:
\[
A = (4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 + 2x - 2) + (x^2 + 2x + 1)
\]

4. **Kết hợp các hạng tử giống nhau**:
\[
A = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 2x - 2 + x^2 + 2x + 1
\]
\[
A = (4x^2 + 4x^2 + x^2) + (-4x + 2x + 2x) + (1 - 2 + 1)
\]
\[
A = 9x^2 + 0x + 0
\]
\[
A = 9x^2
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là:
\[
A = 9x^2
\]