Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của các hàm số \( P = 7 - x - x^2 \) và \( Q = (1 - 2x)(x - 3) \), chúng ta sẽ lần lượt xét từng hàm số.

### 1. Tìm GTLN của \( P = 7 - x - x^2 \)

Hàm số \( P(x) = 7 - x - x^2 \) là một hàm bậc hai có dạng \( P(x) = -x^2 - x + 7 \). Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, chúng ta cần tìm đỉnh của parabol.

Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có hoành độ \( x = -\frac{b}{2a} \).

Ở đây, \( a = -1 \), \( b = -1 \), và \( c = 7 \).

Hoành độ đỉnh là:
\[ x = -\frac{-1}{2(-1)} = \frac{1}{2} \]

Thế \( x = \frac{1}{2} \) vào hàm số \( P(x) \) để tìm giá trị lớn nhất:
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 7 - \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 7 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \]
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 7 - \frac{2}{4} - \frac{1}{4} \]
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 7 - \frac{3}{4} \]
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{28}{4} - \frac{3}{4} \]
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{25}{4} \]
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 6.25 \]

Vậy giá trị lớn nhất của \( P(x) \) là \( 6.25 \).

### 2. Tìm GTLN của \( Q = (1 - 2x)(x - 3) \)

Hàm số \( Q(x) = (1 - 2x)(x - 3) \) là một hàm bậc hai. Ta khai triển hàm số này:
\[ Q(x) = (1 - 2x)(x - 3) \]
\[ Q(x) = 1 \cdot x - 1 \cdot 3 - 2x \cdot x + 2x \cdot 3 \]
\[ Q(x) = x - 3 - 2x^2 + 6x \]
\[ Q(x) = -2x^2 + 7x - 3 \]

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, chúng ta cũng tìm đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh là:
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2(-2)} = \frac{7}{4} \]

Thế \( x = \frac{7}{4} \) vào hàm số \( Q(x) \) để tìm giá trị lớn nhất:
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = -2\left(\frac{7}{4}\right)^2 + 7\left(\frac{7}{4}\right) - 3 \]
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = -2 \cdot \frac{49}{16} + 7 \cdot \frac{7}{4} - 3 \]
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = -\frac{98}{16} + \frac{49}{4} - 3 \]
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = -\frac{49}{8} + \frac{49}{4} - 3 \]
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = -\frac{49}{8} + \frac{98}{8} - 3 \]
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = \frac{49}{8} - 3 \]
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = \frac{49}{8} - \frac{24}{8} \]
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = \frac{25}{8} \]
\[ Q\left(\frac{7}{4}\right) = 3.125 \]

Vậy giá trị lớn nhất của \( Q(x) \) là \( 3.125 \).

### Kết luận
- Giá trị lớn nhất của \( P(x) = 7 - x - x^2 \) là \( 6.25 \).
- Giá trị lớn nhất của \( Q(x) = (1 - 2x)(x - 3) \) là \( 3.125 \).