Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC )

Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tam giác cân, và các định lý về đường trung bình, đường phân giác, và đường song song. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng phần:

### a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACD

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác \( ABH \) và tam giác \( ACD \):
- \( \angle ABH = \angle ACD = 90^\circ \) (vì \( AH \) vuông góc với \( BC \) và \( D \) nằm trên tia đối của \( HA \)).
- \( AH = HD \) (theo giả thiết).
- \( \angle HBA = \angle DAC \) (vì \( H \) và \( D \) nằm trên cùng một đường thẳng với \( A \)).

2. Do đó, tam giác \( ABH \) và tam giác \( ACD \) có:
- \( \angle ABH = \angle ACD \)
- \( AH = HD \)
- \( \angle HBA = \angle DAC \)

3. Theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G), ta có:
\[
\triangle ABH = \triangle ACD
\]

### b) Chứng minh CB là tia phân giác của góc ACD

**Chứng minh:**

1. Từ phần a, ta có \( \triangle ABH = \triangle ACD \).
2. Điều này có nghĩa là \( \angle HAB = \angle CAD \).
3. Do \( H \) nằm trên \( BC \) và \( D \) nằm trên tia đối của \( HA \), \( CB \) là đường trung trực của đoạn \( AD \).
4. Vì vậy, \( CB \) chia góc \( \angle ACD \) thành hai góc bằng nhau.
5. Do đó, \( CB \) là tia phân giác của \( \angle ACD \).

### c) Trên đoạn HC, lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE. Chứng minh rằng DE // AB. Từ đó suy ra DE vuông góc với AC

**Chứng minh:**

1. Gọi \( H \) là trung điểm của \( BE \), tức là \( BH = HE \).
2. Xét tam giác \( AHD \) và tam giác \( EHD \):
- \( AH = HD \) (theo giả thiết).
- \( BH = HE \) (vì \( H \) là trung điểm của \( BE \)).
- \( \angle AHD = \angle EHD \) (vì \( H \) nằm trên đường thẳng \( AD \)).

3. Do đó, tam giác \( AHD \) và tam giác \( EHD \) là hai tam giác cân có cạnh \( AH = HD \) và \( BH = HE \).

4. Vì \( H \) là trung điểm của \( BE \), \( DE \) song song với \( AB \) (theo định lý đường trung bình trong tam giác).

5. Do \( AB \) vuông góc với \( AC \) (vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)), \( DE \) cũng vuông góc với \( AC \).

### d) Gọi M là giao điểm của DE và AC, AE cắt DC tại N. Chứng minh rằng CN = CM

**Chứng minh:**

1. Gọi \( M \) là giao điểm của \( DE \) và \( AC \).
2. Xét tam giác \( ADE \) và tam giác \( ABC \):
- \( DE \parallel AB \) (theo phần c).
- \( DE \) vuông góc với \( AC \).

3. Do đó, \( M \) là trung điểm của \( AC \) (vì \( DE \) là đường trung bình của tam giác \( ADE \)).

4. Xét tam giác \( ADC \) với \( AE \) cắt \( DC \) tại \( N \):
- \( M \) là trung điểm của \( AC \).
- \( DE \parallel AB \) và \( DE \) vuông góc với \( AC \).

5. Do \( DE \parallel AB \) và \( DE \) vuông góc với \( AC \), \( N \) là trung điểm của \( DC \).

6. Vì vậy, \( CN = CM \) (vì \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( N \) là trung điểm của \( DC \)).

Kết luận: \( CN = CM \).