Cho hình chữ nhật MNPQ. Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo MP và QN

Chào bạn! Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn

Để chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn, chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp. Một tứ giác là nội tiếp nếu và chỉ nếu tổng các góc đối diện của nó bằng 180 độ.

Trong hình chữ nhật, các góc tại các đỉnh đều là góc vuông (90 độ). Do đó, chúng ta có:
- Góc tại M là 90 độ
- Góc tại N là 90 độ
- Góc tại P là 90 độ
- Góc tại Q là 90 độ

Tổng các góc đối diện của tứ giác MNPQ là:
- Góc M + Góc P = 90 độ + 90 độ = 180 độ
- Góc N + Góc Q = 90 độ + 90 độ = 180 độ

Vì tổng các góc đối diện đều bằng 180 độ, nên tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp. Do đó, 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

### Phần b: Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ

Để tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ, chúng ta có thể sử dụng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp của một hình chữ nhật. Công thức này là:
\[ R = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2} \]
trong đó \( d_1 \) và \( d_2 \) là độ dài hai đường chéo của hình chữ nhật.

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo có độ dài bằng nhau và bằng:
\[ d = \sqrt{MN^2 + MQ^2} \]

Với MN = 4 cm và MQ = 3 cm, ta có:
\[ d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]

Vì hai đường chéo bằng nhau, nên:
\[ d_1 = d_2 = 5 \text{ cm} \]

Áp dụng vào công thức bán kính:
\[ R = \frac{\sqrt{5^2 + 5^2}}{2} = \frac{\sqrt{25 + 25}}{2} = \frac{\sqrt{50}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ cm} \]

Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \) cm.

Hy vọng rằng lời giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán. Chúc bạn học tốt!