Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ giải hệ phương trình từng bước một.

1. \( x \cdot y = -21 \)
2. \( x \cdot (y - 3) = -6 \)
3. \( (x - 1) \cdot (y + 2) = 7 \)
4. \( (2x - 1) \cdot (2y + 1) = -35 \)

Bước 1: Từ phương trình (1), ta có các cặp số nguyên \( (x, y) \) sao cho tích của chúng bằng -21. Các cặp này là:
\[ (1, -21), (-1, 21), (3, -7), (-3, 7), (7, -3), (-7, 3), (21, -1), (-21, 1) \]

Bước 2: Kiểm tra từng cặp với phương trình (2).

- Với \( (x, y) = (1, -21) \):
\[ 1 \cdot (-21 - 3) = 1 \cdot (-24) = -24 \neq -6 \]
Không thỏa mãn.

- Với \( (x, y) = (-1, 21) \):
\[ -1 \cdot (21 - 3) = -1 \cdot 18 = -18 \neq -6 \]
Không thỏa mãn.

- Với \( (x, y) = (3, -7) \):
\[ 3 \cdot (-7 - 3) = 3 \cdot (-10) = -30 \neq -6 \]
Không thỏa mãn.

- Với \( (x, y) = (-3, 7) \):
\[ -3 \cdot (7 - 3) = -3 \cdot 4 = -12 \neq -6 \]
Không thỏa mãn.

- Với \( (x, y) = (7, -3) \):
\[ 7 \cdot (-3 - 3) = 7 \cdot (-6) = -42 \neq -6 \]
Không thỏa mãn.

- Với \( (x, y) = (-7, 3) \):
\[ -7 \cdot (3 - 3) = -7 \cdot 0 = 0 \neq -6 \]
Không thỏa mãn.

- Với \( (x, y) = (21, -1) \):
\[ 21 \cdot (-1 - 3) = 21 \cdot (-4) = -84 \neq -6 \]
Không thỏa mãn.

- Với \( (x, y) = (-21, 1) \):
\[ -21 \cdot (1 - 3) = -21 \cdot (-2) = 42 \neq -6 \]
Không thỏa mãn.

Như vậy, không có cặp số nguyên nào thỏa mãn cả hai phương trình (1) và (2). Do đó, không tồn tại số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn cả bốn phương trình đã cho.