Để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông và đường cao, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đồng dạng và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

**a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC**

Xét tam giác ABC và tam giác HAC:
- Tam giác ABC vuông tại A, nên góc \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Tam giác HAC vuông tại H, nên góc \( \angle HCA = 90^\circ \).

Xét góc \( \angle BAC \) và góc \( \angle HCA \):
- \( \angle BAC = \angle HCA = 90^\circ \).

Xét góc \( \angle ACB \) và góc \( \angle HAC \):
- \( \angle ACB \) là góc chung của tam giác ABC và tam giác HAC.

Do đó, tam giác ABC và tam giác HAC có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

**b) Chứng minh tam giác HBC đồng dạng với tam giác CHA**

Xét tam giác HBC và tam giác CHA:
- Tam giác HBC vuông tại H, nên góc \( \angle BHC = 90^\circ \).
- Tam giác CHA vuông tại H, nên góc \( \angle CHA = 90^\circ \).

Xét góc \( \angle HBC \) và góc \( \angle HAC \):
- \( \angle HBC \) là góc chung của tam giác HBC và tam giác CHA.

Do đó, tam giác HBC và tam giác CHA có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

**c) Từ H kẻ HK vuông góc với AC tại K. Chứng minh tam giác AKH đồng dạng với tam giác AHC**

Xét tam giác AKH và tam giác AHC:
- Tam giác AKH vuông tại K, nên góc \( \angle AKH = 90^\circ \).
- Tam giác AHC vuông tại H, nên góc \( \angle AHC = 90^\circ \).

Xét góc \( \angle HAK \) và góc \( \angle HAC \):
- \( \angle HAK \) là góc chung của tam giác AKH và tam giác AHC.

Do đó, tam giác AKH và tam giác AHC có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

**d) Chứng minh \( HB \times HC = AK \times AC \)**

Từ các tam giác đồng dạng đã chứng minh ở trên, ta có các tỉ lệ:

- Từ tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AH}
\]
\[
\Rightarrow AB \times AH = AC^2
\]

- Từ tam giác HBC đồng dạng với tam giác CHA:
\[
\frac{HB}{HC} = \frac{HC}{HA}
\]
\[
\Rightarrow HB \times HA = HC^2
\]

- Từ tam giác AKH đồng dạng với tam giác AHC:
\[
\frac{AK}{AH} = \frac{AH}{AC}
\]
\[
\Rightarrow AK \times AC = AH^2
\]

Kết hợp các hệ thức trên, ta có:
\[
HB \times HC = AK \times AC
\]

Vậy, ta đã chứng minh được \( HB \times HC = AK \times AC \).